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01 – Matemática – FGV 2025 – Nível Superior
Conteúdo: Cálculo — Derivação implícita
Dada a função \( y = f(x) \), com \( y > 0 \) e satisfazendo a equação:
\[ x^2 + y^2 = 4 \]
A derivada \( \frac{dy}{dx} \) é igual a:
\[ x^2 + y^2 = 4 \]
A derivada \( \frac{dy}{dx} \) é igual a:
A) \( -\frac{x}{\sqrt{4 – x^2}} \)
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B) \( \sqrt{x – 4} \)
C) \( \sqrt[3]{4 – x} \)
D) \( 2(1 – x^2) \)
E) \( -\frac{2}{\sqrt{1 – x^2}} \)
Ver solução passo a passo
1) Diferenciando implicitamente:
\[
\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(4)
\]
2) Aplicando a regra da cadeia:
\[
2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0
\]
3) Isolando \( \frac{dy}{dx} \):
\[
2y \frac{dy}{dx} = -2x
\]
\[
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}
\]
4) Como \( y>0 \), da equação original:
\[
y = \sqrt{4 – x^2}
\]
5) Substituindo:
\[
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{\sqrt{4 – x^2}}
\]
Resposta correta: alternativa A.
