a) Após a etapa de número N, quantas bolas já foram colocadas?

Observemos as primeiras etapas:

• Etapa 1: 1 bola → caixa A;
• Etapa 2: 3 bolas → caixa B;
• Etapa 3: 5 bolas → caixa C;
• Etapa 4: 7 bolas → caixa D;
• Etapa 5: 9 bolas → caixa A; e assim por diante.

O número de bolas colocadas na etapa k forma a sequência:

1, 3, 5, 7, 9, … que é a sequência dos números ímpares.

Podemos escrever:

número de bolas na etapa k = 2k − 1

Então, após N etapas, o total de bolas colocadas é:

S_N = (1) + (3) + (5) + … + (2N − 1)

Mas é conhecido (e pode ser demonstrado) que a soma dos N primeiros ímpares é:

1 + 3 + 5 + … + (2N − 1) = N²

Logo:

Após a etapa de número N, já terão sido colocadas N² bolas nas quatro caixas.

b) Em qual das 4 caixas será colocada a bola de número 1000?

Sabemos que após a etapa N, o total de bolas é N². Para descobrir em qual etapa está a bola de número 1000, procuramos N tal que:

N² seja o total acumulado até a etapa N.

Calculamos:

31² = 961
32² = 1024

Assim, após a etapa 31, foram colocadas 961 bolas. Após a etapa 32, teremos 1024 bolas. Logo, a bola de número 1000 está na etapa 32.

Na etapa 32, são colocadas:

2·32 − 1 = 63 bolas

indo da bola número 962 até a bola número 1024.

Como a bola 1000 está dentro desse intervalo, ela pertence à etapa 32.

Caixa correspondente à etapa 32

As caixas seguem o ciclo:

Etapa 1 → A
Etapa 2 → B
Etapa 3 → C
Etapa 4 → D
Etapa 5 → A
Etapa 6 → B, …

Ou seja, a caixa depende do resto da divisão da etapa por 4:

• Etapas ≡ 1 (mod 4) → caixa A;
• Etapas ≡ 2 (mod 4) → caixa B;
• Etapas ≡ 3 (mod 4) → caixa C;
• Etapas ≡ 0 (mod 4) → caixa D.

Como 32 ÷ 4 = 8, com resto 0, temos:

32 ≡ 0 (mod 4)

Portanto, a etapa 32 corresponde à caixa D.

✔ Resumo da resposta discursiva:
a) Após a etapa N, foram colocadas N² bolas ao todo.
b) A bola de número 1000 será colocada na caixa D.