Fórmula de Euler para Poliedros — \( \boldsymbol{V – E + F = 2} \)
O que diz, quando vale (superfície fechada), por que funciona, como generalizar para superfícies com “furos” e como aplicá-la em exercícios.
1) Enunciado
Para todo poliedro convexo e fechado (ou para qualquer superfície poliedral homeomorfa à esfera), vale:
\( \boxed{V – E + F = 2} \)
\(V\) = vértices, \(E\) = arestas, \(F\) = faces. O valor 2 é a característica de Euler da esfera.
2) Quando a fórmula vale? E quando ajustar?
Válida
- Poliedros convexos e fechados (sem “tampas” faltando).
- Poliedros não convexos sem auto-interseção cuja superfície é topologicamente uma esfera (gênero \(g=0\)).
Exige ajuste
- Superfícies com “furos” (gênero \(g\ge1\)): \( \chi = V-E+F = 2-2g \).
- Poliedros estrelados (auto-interseção): conte \(V,E,F\) na superfície topológica correta — redes sobrepostas do desenho podem enganar.
- Modelos abertos (com faces faltando): Euler não se aplica diretamente.
Checklist rápido de uso
- Confirme se a superfície é fechada e sem auto-interseção.
- Determine o gênero \(g\) (0 para “como a esfera”).
- Aplique \(V-E+F=2-2g\).
- Faça a conta apenas com quantidades inteiras \(V,E,F\) do sólido (não de uma planificação recortada).
3) Por que funciona? (intuições de prova)
- Colapso da malha na esfera/plano: contraindo arestas internas e fundindo faces até restar um único polígono, cada operação preserva \(V-E+F\). No fim, obtém-se \(V-E+F=2\).
- Triangulação: ao triangular toda a superfície fechada, cada aresta interna pertence a 2 triângulos ⇒ \(3F_\triangle=2E_\triangle\). Combinando com reduções que preservam \(V-E+F\), chega-se a 2.
A ideia formal vem de topologia: \( \chi = 2 \) é invariante para a classe da esfera.
4) Extensão topológica: superfícies com gênero \(g\)
Para superfícies fechadas orientáveis de gênero \(g\) (número de “furos”):
\( \chi = V – E + F = 2 – 2g \)
Exemplos: esfera (\(g=0\)) ⇒ \(\chi=2\); toro (\(g=1\)) ⇒ \(\chi=0\); duplo toro (\(g=2\)) ⇒ \(\chi=-2\).
5) Aplicações práticas
- Checar contagens \(V,E,F\) em poliedros (vestibular/olimpíadas).
- Validação de malhas 3D e topologia de superfícies (CG/engenharia).
- Planejamento de planificações e estruturas (domos geodésicos).
6) Exemplos resolvidos (contas na vertical)
Enunciado. Um dodecaedro convexo tem \(F=12\) e \(V=20\). Calcule \(E\).
Ver solução
$$\begin{aligned} V – E + F &= 2\\ 20 – E + 12 &= 2\\ 32 – E &= 2\\ E &= 32 – 2\\ E &= \mathbf{30} \end{aligned}$$Enunciado. Um poliedro convexo possui \(V=18\) e \(E=30\). Encontre \(F\).
Ver solução
$$\begin{aligned} V – E + F &= 2\\ 18 – 30 + F &= 2\\ -12 + F &= 2\\ F &= \mathbf{14} \end{aligned}$$Enunciado. Um sólido com superfície equivalente a um toro (\(g=1\)) tem \(V=40\) e \(E=72\). Calcule \(F\).
Ver solução
$$\begin{aligned} V – E + F &= 2 – 2g\\ 40 – 72 + F &= 2 – 2\\ -32 + F &= 0\\ F &= \mathbf{32} \end{aligned}$$Enunciado. Em um prisma triangular reto, \(F=5\). Use Euler para confirmar \(V\) e \(E\).
Ver solução
Contagem direta: \(V=6\) (duas bases triangulares) e \(E=9\) (3+3+3).
$$\begin{aligned} V – E + F &= 6 – 9 + 5\\ &= \mathbf{2}\quad \checkmark \end{aligned}$$
Erros comuns
- Aplicar \(V-E+F=2\) a modelos abertos (com face faltando).
- Usar contagens de uma planificação “cortada” em vez do sólido fechado.
- Ignorar auto-interseções em poliedros estrelados (topologia diferente).
7) Exercícios propostos (gabarito em abre/fecha)
Um poliedro convexo tem \(F=9\) e \(E=15\). Calcule \(V\).
Gabarito
$$\begin{aligned} V – 15 + 9 &= 2\\ V – 6 &= 2\\ V &= \mathbf{8} \end{aligned}$$Em um poliedro convexo com todas as faces triangulares, \(E=27\). Determine \(F\) e \(V\).
Gabarito
Triangulação: \(3F=2E \Rightarrow F=\dfrac{2E}{3}=\dfrac{54}{3}=18\).
$$\begin{aligned} V – 27 + 18 &= 2\\ V – 9 &= 2\\ V &= \mathbf{11} \end{aligned}$$Um modelo com superfície de duplo toro (\(g=2\)) tem \(F=40\) e \(V=28\). Encontre \(E\).
Gabarito
$$\begin{aligned} V – E + F &= 2 – 2g\\ 28 – E + 40 &= 2 – 4\\ 68 – E &= -2\\ E &= \mathbf{70} \end{aligned}$$
