Fórmula do Volume e da Área da Esfera

A esfera é o conjunto de pontos do espaço que estão à mesma distância do centro. Essa distância é o raio \(r\). Reforce a teoria em Esfera e veja mais listas em Exercício Esfera. Para comparar com outros sólidos, visite Corpos redondos, Cubo e Paralelepípedo.

Fórmulas principais

Intuição rápida

• Derivada de \(V\): \( \displaystyle \frac{d}{dr}\!\left(\frac{4}{3}\pi r^{3}\right)=4\pi r^{2}=A \). A área é a taxa de variação do volume quando o raio cresce.
• Cavalieri: comparando cortes de um cilindro de raio \(r\) e altura \(2r\) “vazado” por um cone com os da esfera, conclui-se \(V_{\text{esfera}}=\tfrac{2}{3}V_{\text{cilindro}}=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}\).
• Escala: se \(r\) é multiplicado por \(k\), então \(A\) por \(k^{2}\) e \(V\) por \(k^{3}\).

Exemplos resolvidos

Exemplo 1. Para \(r=6\ \text{cm}\), calcule \(A\) e \(V\).

Exemplo 2. Uma esfera tem \(V=288\pi\ \text{cm}^{3}\). Encontre \(r\) e \(A\).

Exercícios (múltipla escolha)

1) Direto. Uma esfera tem raio \(4\ \text{cm}\). O par correto \((A,\ V)\) é:

1. \((64\pi\ \text{cm}^{2},\ 64\pi\ \text{cm}^{3})\)
2. \((64\pi\ \text{cm}^{2},\ \tfrac{256}{3}\pi\ \text{cm}^{3})\)
3. \((32\pi\ \text{cm}^{2},\ \tfrac{256}{3}\pi\ \text{cm}^{3})\)
4. \((32\pi\ \text{cm}^{2},\ 64\pi\ \text{cm}^{3})\)

2) Com diâmetro. Se \(d=24\ \text{cm}\), então \(A\) e \(V\) valem, respectivamente:

1. \(576\pi\ \text{cm}^{2}\) e \(2304\pi\ \text{cm}^{3}\)
2. \(576\pi\ \text{cm}^{2}\) e \(\tfrac{\pi}{6}\cdot 24^{3}\)
3. \(\pi d^{2}\) e \(\tfrac{\pi}{6}d^{3}\)
4. Todas as alternativas estão corretas.

3) A partir de \(V\). Se \(V=36\pi\ \text{cm}^{3}\), então \(A\) é:

1. \(36\pi\ \text{cm}^{2}\)
2. \(48\pi\ \text{cm}^{2}\)
3. \(64\pi\ \text{cm}^{2}\)
4. \(96\pi\ \text{cm}^{2}\)

4) A partir de \(A\). Se \(A=324\pi\ \text{cm}^{2}\), determine \(r\) e \(V\).

1. \(r=8\ \text{cm}\) e \(V=768\pi\ \text{cm}^{3}\)
2. \(r=9\ \text{cm}\) e \(V=972\pi\ \text{cm}^{3}\)
3. \(r=10\ \text{cm}\) e \(V=1000\pi\ \text{cm}^{3}\)
4. \(r=12\ \text{cm}\) e \(V=2304\pi\ \text{cm}^{3}\)

5) Tanque esférico (pintura e capacidade). Um reservatório esférico tem raio \(1{,}5\ \text{m}\). A área externa aproximada e a capacidade em litros são:

1. \(28{,}27\ \text{m}^{2}\) e \(14\,137\ \text{L}\)
2. \(18{,}10\ \text{m}^{2}\) e \(9\,050\ \text{L}\)
3. \(42{,}41\ \text{m}^{2}\) e \(18\,850\ \text{L}\)
4. \(56{,}55\ \text{m}^{2}\) e \(28\,274\ \text{L}\)

6) Escala do raio. Se o raio aumenta \(10\%\), os percentuais de aumento de \(A\) e \(V\) são, respectivamente:

1. \(10\%\) e \(10\%\)
2. \(21\%\) e \(33{,}1\%\)
3. \(20\%\) e \(30\%\)
4. \(25\%\) e \(37{,}5\%\)

7) Hemisfério sólido. Para um hemisfério de raio \(12\ \text{cm}\), a área curva externa e o volume são, respectivamente:

1. \(288\pi\ \text{cm}^{2}\) e \(1152\pi\ \text{cm}^{3}\)
2. \(144\pi\ \text{cm}^{2}\) e \(576\pi\ \text{cm}^{3}\)
3. \(576\pi\ \text{cm}^{2}\) e \(2304\pi\ \text{cm}^{3}\)
4. \(288\pi\ \text{cm}^{2}\) e \(2304\pi\ \text{cm}^{3}\)

8) Fusão de esferas. Duas esferas maciças idênticas, cada uma com raio \(3\ \text{cm}\), são fundidas para formar uma única esfera. O raio da nova esfera é aproximadamente:

1. \(3{,}2\ \text{cm}\)
2. \(3{,}5\ \text{cm}\)
3. \(3{,}8\ \text{cm}\)
4. \(4{,}2\ \text{cm}\)

Para continuar estudando (linkagem interna)

• Esfera — definição, elementos e propriedades.
• Exercício Esfera — mais problemas passo a passo.
• Corpos redondos — visão geral de sólidos de revolução.
• Cubo • Paralelepipípedo — contraste de fórmulas e unidades.