Fórmulas – Volume e Área do Cilindro
Este guia reúne tudo que você precisa sobre o cilindro circular (reto e oblíquo): fórmulas, de onde elas vêm, exemplos comentados e exercícios com solução. Em todo o texto adotamos a notação:
- \(r\): raio do círculo da base;
- \(h\): altura, isto é, a distância perpendicular entre os planos das bases (no oblíquo, use a altura perpendicular).
Para se aprofundar separadamente, veja Fórmula Volume do Cilindro e Área do Cilindro. Panorama geral em Corpos redondos (compare com cone e esfera).
Fórmulas essenciais
Volume: \(\displaystyle V=\pi r^2 h\)
Área lateral (rótulo): \(\displaystyle A_L=2\pi r h\)
Área total (lateral + duas bases):
\(\displaystyle A_T=2\pi r h+2\pi r^2=2\pi r(r+h)\)
Unidades: com \(r,h\) em cm, obtemos \(V\) em cm³ (1 cm³ = 1 mL) e \(A\) em cm². 1 L = 1 000 cm³; 1 m³ = 1 000 L.
Por que as fórmulas funcionam?
- Volume (princípio “base × altura” e Cavalieri): o cilindro é um prisma de base circular. Para o reto ou oblíquo, \(V=A_{\text{base}}\cdot h=\pi r^2 h\), desde que \(h\) seja a altura perpendicular.
- Área (planificação): ao “abrir” a superfície, a lateral vira um retângulo de lados \(2\pi r\) (circunferência da base) e \(h\); as tampas são dois círculos \(\pi r^2\). Somando: \(A_T=2\pi rh+2\pi r^2\).
Variações úteis para problemas
- Sem tampa (aberto em cima): \(A=2\pi rh+\pi r^2\).
- Somente rótulo: \(A=A_L=2\pi rh\).
- Tubo cilíndrico oco (coaxial): volume de material \(\displaystyle V=\pi (R^2-r^2)h\). Considerando áreas expostas externas, internas e as bordas planas: \(\displaystyle A=2\pi Rh+2\pi rh+2\pi(R^2-r^2)\).
- Escala: se multiplicarmos \(r\) e \(h\) por \(k\), então \(A\) escala por \(k^2\) e \(V\) por \(k^3\).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Lata padrão (cilindro reto). Dado \(r=4\) cm e \(h=10\) cm, calcule a capacidade (L) e a área total (cm²).
Ver solução
\(V=\pi r^2h=160\pi\approx 502{,}65\ \text{cm}^3= \mathbf{0{,}503\ L}\).
\(A_T=2\pi r(r+h)=2\pi\cdot4\cdot14=112\pi\approx \mathbf{351{,}86\ \text{cm}^2}\).
Exemplo 2 — Encontrar altura a partir do volume. Para \(V=1\,000\ \text{cm}^3\) e \(r=4\) cm, determine \(h\).
Ver solução
\(h=\dfrac{V}{\pi r^2}=\dfrac{1000}{16\pi}\approx \mathbf{19{,}89\ \text{cm}}\).
Exemplo 3 — Tubo metálico (oco). Um tubo tem \(R=8\) cm, \(r=6\) cm e \(h=20\) cm. Calcule o volume de metal (L).
Ver solução
\(V=\pi(R^2-r^2)h=\pi(64-36)\cdot20=560\pi\approx \mathbf{1{,}759\ L}\).
Exemplo 4 — Pintura externa (tanque fechado). Para \(r=1{,}2\) m e \(h=2{,}5\) m, determine a área a pintar.
Ver solução
\(A_T=2\pi r(r+h)=2\pi\cdot1{,}2\cdot(1{,}2+2{,}5)=8{,}88\pi\approx \mathbf{27{,}88\ \text{m}^2}\).
Exercícios (múltipla escolha com solução)
Sempre indique: \(r\) = raio da base; \(h\) = altura (perpendicular). Quando houver “tubo”, use \(R\) para raio externo e \(r\) para interno. Utilize \(\pi\approx3{,}1416\).
1) Um cilindro reto com raio \(r=4\) cm e altura \(h=10\) cm tem capacidade (L) igual a:
- 0,45
- 0,50
- 0,55
- 0,60
Solução
\(V=160\pi\approx \mathbf{0{,}503\ L}\) → B.
2) Para o cilindro do item 1, a área total (cm²) é aproximadamente:
- 339
- 346
- 352
- 365
Solução
\(A_T=112\pi\approx \mathbf{351{,}86}\) → C.
3) Um copo cilíndrico reto com \(r=3\) cm e \(h=12\) cm comporta quantos mililitros?
- 314
- 339
- 360
- 400
Solução
\(V=108\pi\approx \mathbf{339}\ \text{mL}\) → B.
4) O rótulo de uma lata (apenas lateral) mede 22 cm de largura (circunferência) por 12 cm de altura. A área do rótulo é:
- 220 cm²
- 242 cm²
- 264 cm²
- 286 cm²
Solução
\(A_L=22\cdot12=\mathbf{264\ \text{cm}^2}\) → C.
5) Um frasco cilíndrico reto deve ter \(V=1\,000\) cm³. Se \(r=4\) cm, a altura é aproximadamente:
- 17,5 cm
- 18,8 cm
- 19,9 cm
- 21,0 cm
Solução
\(h=1000/(16\pi)\approx \mathbf{19{,}9}\) cm → C.
6) Um tubo oco possui \(R=8\) cm, \(r=6\) cm e \(h=20\) cm. O volume de material (L) é:
- 1,64
- 1,70
- 1,76
- 1,90
Solução
\(V=\pi(64-36)\cdot20=560\pi\approx \mathbf{1{,}76}\) L → C.
7) Dois cilindros retos contêm volumes \(V_A=\pi\cdot3^2\cdot20\) e \(V_B=\pi\cdot4^2\cdot10\). Juntando-se em um terceiro cilindro reto de raio \(r=5\) cm, a altura final é:
- 12,0 cm
- 13,6 cm
- 15,0 cm
- 16,5 cm
Solução
Total \(=108\pi+160\pi=340\pi\). \(h=340\pi/(25\pi)=\mathbf{13{,}6}\) cm → B.
8) Um tanque cilíndrico fechado (reto) com \(r=1{,}2\) m e \(h=2{,}5\) m terá área externa total igual a:
- 23,36 m²
- 25,10 m²
- 27,88 m²
- 29,40 m²
Solução
\(A_T=2\pi r(r+h)=8{,}88\pi\approx \mathbf{27{,}88}\) m² → C.
9) Um fabricante aumenta raio e altura em 20%. O aumento de área total e de volume é:
- 36% e 64%
- 44% e 72,8%
- 44% e 80%
- 50% e 100%
Solução
Área: \(1{,}2^2=1{,}44\) (↑44%). Volume: \(1{,}2^3=1{,}728\) (↑72,8%). → B.
10) Em um cilindro oblíquo com \(r=6\) cm e altura perpendicular \(h=10\) cm, o volume (L) vale:
- 1,047
- 1,131
- 1,210
- 1,309
Solução
Mesmo oblíquo, \(V=\pi r^2 h=360\pi\ \text{cm}^3\approx \mathbf{1{,}131}\) L → B.
11) A planificação mostra um rótulo com largura 25 cm e altura 20 cm. Calcule a área total da lata (incluindo tampas).
- 585,0 cm²
- 592,0 cm²
- 599,5 cm²
- 612,0 cm²
Solução
Lateral \(=25\cdot20=500\). \(r=25/(2\pi)\Rightarrow 2\pi r^2=25r\approx 99{,}47\). Total \(\approx \mathbf{599{,}47}\) → C.
12) Um cilindro reto tem \(A_T=300\pi\) cm² e \(r=6\) cm. Determine \(h\) (cm).
- 17
- 18
- 19
- 21
Solução
\(2\pi r(r+h)=300\pi\Rightarrow 12(r+h)=300\Rightarrow h=\mathbf{19}\) → C.
