Formulário de Álgebra

Formulário de Álgebra — Regras, Fórmulas, Exemplos e Exercícios

Formulário de Álgebra — Regras, Fórmulas, Exemplos e Exercícios

Revisão rápida e objetiva para provas, concursos e OBMEP. Nesta página você encontra um resumo prático das principais fórmulas de Álgebra com explicações curtas, exemplos passo a passo (em linhas, após o sinal de igual) e exercícios.

Lei de sinais Bhaskara Produtos notáveis Fatoração Expoentes

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Formulário de Álgebra — Lei de sinais, Bhaskara, produtos notáveis, fatoração, desigualdades e leis dos expoentes

1) Lei de sinais

Multiplicação

(+)×(+) = (+)
(−)×(−) = (+)
(+)×(−) = (−)
(−)×(+) = (−)

Divisão

(+)÷(+) = (+)
(−)÷(−) = (+)
(+)÷(−) = (−)
(−)÷(+) = (−)

Exemplo resolvido
Calcule \( (-3)\cdot(-4)\cdot(+2) \). = \( (+12)\cdot(+2) \) = \( +24 \)

2) Equação quadrática (Fórmula de Bhaskara)

Para \( ax^2 + bx + c = 0 \), temos:
\( x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \)

Exemplo passo a passo
Resolva \( x^2 – 5x + 6 = 0 \). a = 1, b = −5, c = 6 Δ = \( b^2 – 4ac \) = \( (−5)^2 – 4\cdot1\cdot6 \) = \( 25 – 24 \) = \( 1 \) \( x = \dfrac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2\cdot1} \) = \( \dfrac{5 \pm 1}{2} \) x₁ = \( \dfrac{6}{2} = 3 \) ; x₂ = \( \dfrac{4}{2} = 2 \)

3) Produtos notáveis

\((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\)
\((a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\)
\((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\)
\((x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab\)
Exemplo passo a passo
Expanda \((x+3)^2\). = \( x^2 + 2\cdot x \cdot 3 + 3^2 \) = \( x^2 + 6x + 9 \)

4) Fatoração

\( a^{2m} – b^{2n} = (a^m + b^n)(a^m – b^n) \)
\( a^{2m} + 2a^m b^n + b^{2n} = (a^m + b^n)^2 \)
\( a^{3m} + b^{3n} = (a^m + b^n)(a^{2m} – a^m b^n + b^{2n}) \)
\( x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b) \)
Exemplo passo a passo
Fatore \( x^2 – 9 \). = \( (x)^2 – (3)^2 \) = \( (x+3)(x-3) \)

5) Desigualdades: propriedades úteis

  • Se \( a < b \), então \( a + c < b + c \) e \( a – c < b – c \).
  • Se \( a < b \) e \( c > 0 \), então \( ac < bc \) e \( \dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c} \).
  • Se \( a < b \) e \( c < 0 \), então \( ac > bc \) e \( \dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c} \).
Exemplo rápido
Sabendo \( 2 < 5 \) e \( c = -3 \), compare \( 2c \) e \( 5c \). Como \( c < 0 \), a desigualdade inverte. Logo \( 2c > 5c \).

6) Leis dos expoentes

Regras básicas

\( a^0 = 1 \;(a\neq 0) \)
\( a^1 = a \)
\( a^{-m} = \dfrac{1}{a^m}\;(a\neq 0) \)

Operações

\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
\( \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
\( (a^m)^n = a^{mn} \)
\( \left(\dfrac{a^m}{b^n}\right)^p = \dfrac{a^{mp}}{b^{np}} \)
\( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \)

Exemplo passo a passo
Simplifique \( \dfrac{2^7 \cdot 2^{-3}}{2^2} \). = \( \dfrac{2^{7-3}}{2^2} \) = \( \dfrac{2^{4}}{2^2} \) = \( 2^{4-2} \) = \( 2^{2} = 4 \)

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Exercícios propostos

1. Lei de sinais

Calcule \( (-5)\cdot(+4)\cdot(-2) \).

Ver solução
\( (-5)\cdot(+4) = -20 \) \( -20\cdot(-2) = +40 \) Resposta: 40

2. Bhaskara

Resolva \( 2x^2 + 3x – 2 = 0 \).

Ver solução
a = 2, b = 3, c = −2 Δ = \( 3^2 – 4\cdot2\cdot(-2) \) = \( 9 + 16 = 25 \) \( x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} \) = \( \dfrac{-3 \pm 5}{4} \) x₁ = \( \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \) ; x₂ = \( \dfrac{-8}{4} = -2 \)

3. Produtos notáveis

Expanda e simplifique \((2x-1)^2\).

Ver solução
= \( (2x)^2 – 2\cdot2x\cdot1 + 1^2 \) = \( 4x^2 – 4x + 1 \)

4. Fatoração

Fatore \( x^2 + 7x + 10 \).

Ver solução
Procure dois números cujo produto seja 10 e a soma 7: (5,2). = \( (x+5)(x+2) \)

5. Expoentes

Simplifique \( \left(\dfrac{3^2}{3^5}\right)^2 \).

Ver solução
= \( \left(3^{2-5}\right)^2 \) = \( (3^{-3})^2 \) = \( 3^{-6} \) = \( \dfrac{1}{3^6} = \dfrac{1}{729} \)

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Perguntas frequentes

Como decorar as fórmulas de Álgebra?

Resolva exercícios curtos diariamente e use mapas mentais para visualizar relações (ex.: produtos notáveis ↔ fatoração).

Quando usar a fórmula de Bhaskara?

Quando a equação está na forma \( ax^2 + bx + c = 0 \). Para casos simples, tente fatorar antes.

Como evitar erros com sinais?

Marque a regra: sinais iguais geram “+”, sinais diferentes geram “−” (na multiplicação e divisão). Reescreva o cálculo linha a linha.

Créditos da imagem destacada: Matemática Hoje — Formulário de Álgebra.

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Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.

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