Fórmulas de Geometria Analítica

Fórmulas de Geometria Analítica — Guias, Exemplos e Exercícios

Fórmulas de Geometria Analítica — Guia Visual Completo

Este guia reúne as fórmulas essenciais de Geometria Analítica em um único artigo, com definições rápidas, interpretação geométrica, exemplos resolvidos e uma lista final de exercícios desafiadores com múltipla escolha.

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1) Distância entre Dois Pontos

Para \(A(x_A,y_A)\) e \(B(x_B,y_B)\), a distância é:

\( d=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \)

Exemplo. \(A(2,3)\), \(B(7,6)\) → \( d=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34} \).

2) Fórmula do Ponto Médio

O ponto que divide \( \overline{AB} \) ao meio tem coordenadas:

\( \displaystyle M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\,\frac{y_A+y_B}{2}\right) \)

3) Divisão de um Segmento na Razão \(n:m\)

O ponto \(P\) que divide o segmento \(AB\) na razão \(n:m\) (a partir de \(A\) em direção a \(B\)) é:

\( \displaystyle x_P=\frac{x_A\cdot n + x_B\cdot m}{n+m}\quad ; \quad y_P=\frac{y_A\cdot n + y_B\cdot m}{n+m} \)

4) Inclinação da Reta / Coeficiente Angular

Dado \(A(x_1,y_1)\) e \(B(x_2,y_2)\):

\( \displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\tan\theta \)

Sinal: \(m>0\) (crescente), \(m=0\) (horizontal), \(m<0\) (decrescente).

5) Equação da Reta (Forma Ponto–Inclinação)

Se a reta passa por \( (x_0,y_0) \) com inclinação \(m\):

\( \displaystyle y-y_0=m(x-x_0) \)

6) Equação Geral da Reta

Toda reta pode ser escrita como:

\( \displaystyle Ax+By+C=0 \)

Com \(A,B,C\in\mathbb{R}\), não simultaneamente nulos.
Se \(B\neq0\), o coeficiente angular é \( \displaystyle m=-\frac{A}{B}\).

7) Coeficiente Linear

Na forma \( y=mx+b \), o coeficiente linear \(b\) é a ordenada na origem (interseção com o eixo \(y\)).

8) Retas Paralelas e Perpendiculares

Paralelas

Reta \(r:y=m x+b_1\) e \(s:y=mx+b_2\) com \(b_1\neq b_2\) ⇒ paralelas.

Perpendiculares

Se \(m_a\cdot m_b=-1\), as retas são perpendiculares (encontro a 90°).

9) Coordenadas do Baricentro (Centro de Gravidade)

Para o triângulo \(ABC\):

\( \displaystyle x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\quad ; \quad y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3} \)

10) Área de um Triângulo no Plano

Usando o determinante das coordenadas:

\( \displaystyle S=\frac{1}{2}\left|\,x_Ay_B+y_Ax_C+x_By_C – x_C y_B – y_C x_A – x_B y_A\,\right| \)

11) Distância de um Ponto a uma Reta

Para a reta \(Ax+By+C=0\) e o ponto \(P(x_p,y_p)\):

\( \displaystyle d=\frac{|A x_p + B y_p + C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \)

Exemplos Rápidos

Inclinação. A(1,2), B(4,8) → \(m=\frac{6}{3}=2\).

Ponto Médio. A(2,3), B(8,5) → \(M(5,4)\).

Paralelas. \(y=2x+1\) e \(y=2x-5\) (mesmo \(m\)) → paralelas.

Perpendiculares. \(y=3x+2\) e \(y=-\frac{1}{3}x+1\) → \(3\cdot(-1/3)=-1\).

Baricentro. A(0,0), B(6,0), C(3,6) → \(G(3,2)\).

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🏆 Exercícios Desafiadores (Múltipla Escolha)

1) Se \(r\) passa por \(P(2,-3)\) e \(Q(8,9)\), o coeficiente angular de uma reta s perpendicular a \(r\) é:

\(-\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{2}\)
\(-\frac{3}{2}\)
\(\frac{3}{2}\)

\(m_r=\frac{12}{6}=2\Rightarrow m_s=-\frac{1}{2}\). ✅ A.

2) O valor de \(k\) para que \(A(1,4)\), \(B(5,k)\) e \(C(9,20)\) sejam colineares é:

Iguale \(m_{AB}=m_{BC}\). Resultado: \(k=12\). ✅ B.

3) A distância do ponto \(P(5,-2)\) à reta \(4x+3y-12=0\) é:

\(\frac{2}{5}\)
\(\frac{14}{5}\)
\(0{,}4\)
\(2{,}8\)

\(d=\frac{|4\cdot5+3(-2)-12|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{2}{5}=0{,}4\). ✅ A e C são equivalentes; escolha A.

4) A área do triângulo \(A(0,0)\), \(B(4,0)\), \(C(2,6)\) é:

Base \(=4\), altura \(=6\) (ou determinante). \(S=\frac{4\cdot6}{2}=12\). ✅ C.

5) A reta \(y=mx+b\) é paralela a \(y=-\frac{3}{2}x+1\) e passa por \((-2,3)\). Sua equação é:

\(y=-\frac{3}{2}x+6\)
\(y=-\frac{3}{2}x\)
\(y=\frac{3}{2}x+6\)
\(y=-\frac{3}{2}x\,+\,0\)

Paralela ⇒ \(m=-\frac{3}{2}\). Use \(3=(-\tfrac{3}{2})(-2)+b\Rightarrow 3=3+b\Rightarrow b=0\). ✅ D (ou B).

6) O baricentro do triângulo com \(A(1,4)\), \(B(7,1)\) e \(C(-2,5)\) é:

\((2,\,3{,}3)\)
\((2,\,10/3)\)
\((2,\,\tfrac{10}{3})\)
\((2,\,3)\)

\(x_G=\frac{1+7-2}{3}=2\). \(y_G=\frac{4+1+5}{3}=\frac{10}{3}\). ✅ C.

7) Qual é a forma geral da reta que passa por \((0,5)\) e tem \(m=-2\)?

\(2x+y-5=0\)
\(2x+y+5=0\)
\(-2x+y-5=0\)
\(-2x+y+5=0\)

\(y=-2x+5\Rightarrow 2x+y-5=0\). ✅ A.

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.