Frações Algébricas
Definição, domínio, simplificação por fatoração e operações — com exemplos resolvidos e dicas de prova.
As frações algébricas estendem a ideia de frações numéricas para expressões com variáveis. Trabalhamos com objetos da forma \(\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}\), em que \(P\) e \(Q\) são polinômios (ou expressões algébricas) e \(Q(x)\neq 0\).
Para revisar a base, visite: Frações, Classificação das Frações, Frações Mistas e Simplificação de Frações.
1) Definição e domínio (restrições)
Exemplos de frações algébricas: \(\frac{x+2}{x-3}\), \(\frac{x^2-9}{x^2-3x}\), \(\frac{2}{x^2+1}\). Em todos os casos, os valores que anulam o denominador devem ser excluídos do domínio.
2) Como simplificar frações algébricas
- Fatore numerador e denominador (fator comum, produtos notáveis etc.);
- Cancele apenas fatores iguais que multiplicam todo o numerador e todo o denominador;
- Registre as restrições do domínio antes e depois da simplificação.
Erro comum: não se pode “cancelar” termos de soma ou subtração. Em \(\frac{x+2}{x-3}\), por exemplo, não é lícito riscar \(x\) com \(x\).
3) Adição e subtração
Use denominador comum (mmc dos polinômios), some/subtraia os numeradores e simplifique.
4) Multiplicação e divisão
Multiplicação: multiplique numeradores e denominadores e simplifique por fatores.
Divisão: multiplique pela fração inversa (inverso multiplicativo) e simplifique.
5) Frações complexas (empilhadas)
Quando há frações no numerador e/ou no denominador, primeiro transforme cada parte em uma única fração, depois aplique “dividir é multiplicar pelo inverso”.
6) Checklist rápido
- Fatore tudo antes de somar/multiplicar.
- Cancele apenas fatores, nunca termos de soma.
- Anote e mantenha as restrições do domínio.
- Prefira mmc de polinômios para somas e subtrações.
7) Continue estudando
Aprofunde sua base com nossos conteúdos relacionados: Matemática, Frações (guia geral), Classificação das Frações, Frações Mistas e Simplificação de Frações.
📝 Banco de Questões
Listas focadas em simplificação e operações com frações algébricas.
Praticar Agora🧩 Exercícios — Frações Algébricas (com solução detalhada)
1) Determine o domínio de \( \dfrac{x^2-9}{x^2-3x} \).
O denominador não pode ser zero ⇒ \(x \neq 0\) e \(x \neq 3\).
Domínio: \( \mathbb{R} \setminus \{0,\,3\} \).
2) Simplifique \( \dfrac{x^2-1}{x^2-x} \) e indique as restrições.
\(x^2 – x = x(x-1)\).
\(\displaystyle \frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)} = \frac{x+1}{x}\).
Restrições: \(x \neq 0\) e \(x \neq 1\).
Resultado: \(\dfrac{x+1}{x}\).
3) Simplifique \( \dfrac{16-t^2}{8+2t} \) e indique a restrição.
\(8 + 2t = 2(4+t)\).
\(\displaystyle \frac{(4-t)(4+t)}{2(4+t)} = \frac{4-t}{2}\).
Restrição: \(8 + 2t \neq 0 \Rightarrow t \neq -4\).
Resultado: \(\dfrac{4-t}{2}\).
4) Calcule \( \dfrac{1}{x-y}+\dfrac{x}{x^2-y^2} \).
Denominador comum: \((x-y)(x+y)\).
\(\displaystyle \frac{1}{x-y} = \frac{x+y}{(x-y)(x+y)}\).
\(\displaystyle \frac{x}{x^2-y^2} = \frac{x}{(x-y)(x+y)}\).
Somando: \(\displaystyle \frac{x+y+x}{(x-y)(x+y)} = \frac{2x+y}{(x-y)(x+y)}\).
Restrições: \(x \neq y\) e \(x \neq -y\).
5) Calcule \( \dfrac{3}{x+2}-\dfrac{1}{x} \).
\(\displaystyle \frac{3}{x+2} = \frac{3x}{x(x+2)}\).
\(\displaystyle \frac{1}{x} = \frac{x+2}{x(x+2)}\).
Subtraindo: \(\displaystyle \frac{3x – (x+2)}{x(x+2)} = \frac{2x – 2}{x(x+2)} = \frac{2(x-1)}{x(x+2)}\).
Restrições: \(x \neq 0\) e \(x \neq -2\).
6) Simplifique \( \dfrac{6xy}{x^2-y^2}\cdot\dfrac{x+y}{2x} \).
\(\displaystyle \frac{6xy(x+y)}{(x-y)(x+y)\cdot 2x} = \frac{3y}{x-y}\).
Restrições: \(x \neq 0\) e \(x \neq \pm y\).
7) Calcule \( \dfrac{3x}{x^2-4}\div\dfrac{9}{x+2} \).
\(\displaystyle \frac{3x}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x+2}{9} = \frac{x}{3(x-2)}\).
Restrições: \(x \neq -2\) e \(x \neq 2\).
8) Simplifique \( \dfrac{\frac{x}{2}-\frac{1}{3}}{\frac{x}{3}+\frac{1}{2}} \).
Denominador: \(\displaystyle \frac{x}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2x + 3}{6}\).
\(\displaystyle \frac{\frac{3x-2}{6}}{\frac{2x+3}{6}} = \frac{3x-2}{2x+3}\).
Restrição: \(2x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\tfrac{3}{2}\).
9) Simplifique \( \dfrac{x^2-4x+4}{x^2-5x+6} \) e indique as restrições.
\(x^2 – 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
\(\displaystyle \frac{(x-2)^2}{(x-2)(x-3)} = \frac{x-2}{x-3}\).
Restrições: \(x \neq 2\) e \(x \neq 3\).
Resultado: \(\dfrac{x-2}{x-3}\).
10) Calcule \( \dfrac{x}{x-1}+\dfrac{1}{1-x} \).
Assim, \(\displaystyle \frac{1}{1-x} = -\frac{1}{x-1}\).
Logo: \(\displaystyle \frac{x}{x-1} – \frac{1}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} = 1\).
Restrição: \(x \neq 1\).
Resultado: \(1\).
