Enunciado: Um fabricante de picolés distribui diariamente, com seus vendedores, caixas contendo, cada uma, 300 picolés. O lucro diário, em reais, na venda desses picolés, é dado pela função:
$$ L(n) = -200n^2 + 1600n – 2400 $$
onde \( n \) é o número de caixas vendidas. Considere as afirmações relativas ao lucro diário:
I. Para \( 2 < n < 6 \), o fabricante terá lucro.
II. O lucro não poderá ser superior a R$ 1.000,00.
III. O lucro será máximo quando forem vendidos 1500 picolés.
Estão corretas apenas:
a) I e III b) I e II c) II e III d) II e) I
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1) Identificar a função do lucro:
$$ L(n) = -200n^2 + 1600n – 2400 $$
2) Verificar a afirmação III:
O máximo ocorre no vértice: $$ n_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-1600}{2 \cdot (-200)} = \frac{1600}{400} = 4 $$
Se cada caixa tem 300 picolés: $$ 300 \cdot 4 = 1200 \text{ picolés} $$
Afirmação III está incorreta. O lucro é máximo com 4 caixas = 1200 picolés, e não 1500.
3) Verificar a afirmação I:
Vamos resolver \( L(n) > 0 \):
$$ -200n^2 + 1600n – 2400 > 0 \Rightarrow 200n^2 – 1600n + 2400 < 0 $$
$$ \Delta = 1600^2 – 4 \cdot 200 \cdot 2400 = 2560000 – 1920000 = 640000 $$
$$ n = \frac{1600 \pm \sqrt{640000}}{2 \cdot 200} = \frac{1600 \pm 800}{400} \Rightarrow n_1 = 2,\quad n_2 = 6 $$
Lucro positivo entre as raízes:
$$ n \in (2,\ 6) $$
Afirmação I está correta.
4) Verificar a afirmação II:
Lucro máximo em \( n = 4 \):
$$ L(4) = -200 \cdot 16 + 1600 \cdot 4 – 2400 = -3200 + 6400 – 2400 = 800 $$
Afirmação II está correta: lucro máximo é R$ 800,00.
✅ Conclusão:
- I e II estão corretas.
- Alternativa correta: b) I e II
