Função do segundo grau: como ir da fórmula à parábola?
Autor: Adriano Rocha • Matemática Hoje
Se você pensa em “função do segundo grau” e lembra logo da famosa fórmula de Bhaskara, está no caminho certo — mas há muito mais por trás dessa expressão $f(x)=ax^2+bx+c$. Neste guia visual, vamos ligar a fórmula ao gráfico (a parábola): entender quem controla a abertura, como o vértice se desloca, quando existem raízes reais e como esboçar o desenho com segurança. Tudo com exemplos práticos, passos organizados — um abaixo do outro — e uma lista de exercícios com gabarito comentado.
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Quero meu PDF gratuitoEquação quadrática e leitura dos coeficientes
Chamamos de função quadrática a lei $f(x)=ax^2+bx+c$ com $a\neq0$. O coeficiente $a$ define a abertura e a concavidade (para cima se $a>0$, para baixo se $a<0$). O $b$ influencia a posição do vértice no eixo $x$, e o $c$ é o ponto onde a parábola corta o eixo $y$ (valor de $f(0)$).
Discriminante (Δ) e quantidade de raízes reais
- Se $\Delta=b^2-4ac>0$: duas raízes reais.
- Se $\Delta=0$: uma raiz real (raiz dupla).
- Se $\Delta<0$: sem raízes reais.
As raízes são dadas por $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$.
Vértice e eixo de simetria da parábola
O eixo de simetria é $x=\dfrac{-b}{2a}$ e o vértice é $$V\!\left(\dfrac{-b}{2a},\;\dfrac{-\Delta}{4a}\right).$$
Use o vértice para localizar o ponto mais alto/baixo da parábola.
Resumos organizados para revisar função quadrática em minutos.
Ver Mapas MentaisExemplos resolvidos: da conta ao desenho
Exemplo 1 — encontrando raízes reais com Bhaskara
Enunciado. Resolva a equação $x^2-3x+2=0$ e interprete no gráfico.
Ver solução passo a passo
A parábola corta o eixo $x$ em $x=1$ e $x=2$; concavidade para cima ($a=1$).
Exemplo 2 — vértice e concavidade para esboçar a parábola
Enunciado. Para $f(x)=2x^2-4x+1$, determine o vértice e diga se a concavidade é voltada para cima ou para baixo.
Ver solução passo a passo
Como $a=2>0$, concavidade para cima; vértice em $(1,-1)$.
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Concavidade, intercepto e raízes na leitura do esboço
- Concavidade: sinal de $a$ (cima se $a>0$, baixo se $a<0$).
- Corte em $y$: $c=f(0)$.
- Raízes: soluções de $ax^2+bx+c=0$ (quando existirem).
- Vértice: ponto extremo $V\!\left(\frac{-b}{2a},\frac{-\Delta}{4a}\right)$.
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Lista de exercícios comentados (abre e fecha)
Questão 1 — raízes e vértice em contexto
Enunciado. Uma bola segue a trajetória $h(x)=-x^2+6x-5$. Encontre as raízes, o vértice e interprete o ponto máximo.
Mostrar solução detalhada
Máximo em $V(3,4)$; altura máxima igual a 4 unidades.
Questão 2 — sem raízes reais
Enunciado. Verifique se $g(x)=2x^2+4x+5$ possui raízes reais e indique o vértice.
Mostrar solução detalhada
Como $\Delta<0$, não há raízes reais. Vértice em $(-1,3)$.
Questão 3 — construindo o esboço rapidamente
Enunciado. Esboce o gráfico de $y=x^2-4x$ indicando concavidade, vértice e interceptos.
Mostrar solução detalhada
Parábola abre para cima, corta o eixo $x$ em $0$ e $4$, vértice em $(2,-4)$.
Conclusão
Você viu como passar da expressão $ax^2+bx+c$ ao desenho da parábola: concavidade via $a$, número de raízes pelo discriminante, posição do vértice e leitura dos interceptos. Com esses blocos, resolver questões e esboçar gráficos fica direto. Mantenha as fórmulas por perto (baixe o E-book de Fórmulas) e revise com os Mapas Mentais para ganhar velocidade em provas do ENEM e concursos.
Perguntas frequentes (FAQ)
Qual a diferença entre função quadrática e equação do segundo grau?
Função quadrática é a lei $f(x)=ax^2+bx+c$; equação do segundo grau é $ax^2+bx+c=0$. Ao resolver a equação, obtemos as raízes (cortes no eixo $x$) da função correspondente.
Como saber rapidamente a concavidade da parábola?
Basta olhar o coeficiente $a$. Se $a>0$, a concavidade é voltada para cima; se $a<0$, é voltada para baixo. O valor absoluto de $a$ indica o “grau de abertura”.
O que indica o valor de $c$ na função $f(x)=ax^2+bx+c$?
$c$ é o valor de $f(0)$, isto é, o ponto onde a parábola intercepta o eixo $y$. Ele ajuda a posicionar o gráfico verticalmente no plano cartesiano.
Como calcular o vértice sem montar toda a conta?
Use as fórmulas $x_v=\dfrac{-b}{2a}$ e $y_v=\dfrac{-\Delta}{4a}$. Assim, você encontra o ponto extremo de forma direta e pode esboçar a parábola com rapidez.
Quando a função quadrática não possui raízes reais?
Quando o discriminante $\Delta=b^2-4ac$ é negativo. Nesse caso, a parábola não cruza o eixo $x$ e todo o gráfico fica acima ou abaixo dele, conforme o sinal de $a$.
