Função e Conjuntos: da definição aos exercícios resolvidos
Domínio, contradomínio, imagem, exemplos práticos e questões com gabarito.
Este guia conecta os conceitos de conjuntos e funções, tema recorrente no ENEM e em concursos. Recomendamos usar junto os materiais do Mapa Mental de Funções e o Banco de Questões para treinar.
Vocabulário essencial
- Domínio (\(A\)): de onde saem os valores de entrada.
- Contradomínio (\(B\)): conjunto-alvo dos resultados possíveis.
- Imagem (\(\mathrm{Im}(f)\)): subconjunto de \(B\) formado pelos valores efetivamente obtidos.
- Representações: pares ordenados, tabela, lei de formação e diagrama de setas.
Leituras relacionadas (internas)
Conjuntos Numéricos Operações com Frações Equações do 1º Grau Função do 2º Grau Logaritmos
Exemplos comentados
Exemplo 1 — Diagrama de setas
Considere \(A=\{a,b,c,d,e\}\) e \(B=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) como na figura. As associações são: \(a\mapsto2\), \(b\mapsto3\), \(c\mapsto5\), \(d\mapsto7\), \(e\mapsto1\).
- Domínio: \(A\)
- Contradomínio: \(B\)
- Imagem: \(\{1,2,3,5,7\}\)
Exemplo 2 — Tabela e pares ordenados
| \(x\in A\) | \(y\in B\) |
|---|---|
| a | 2 |
| b | 3 |
| c | 5 |
| d | 7 |
| e | 1 |
Como pares ordenados: \(\{(a,2),(b,3),(c,5),(d,7),(e,1)\}\). Cada elemento de \(A\) aparece uma única vez na 1ª coordenada ⇒ é função.
Exemplo 3 — Lei de formação numérica
Seja \(A=\{0,1,2,3\}\) e \(f:A\to \mathbb{N}\) tal que \(f(x)=2x+1\).
\(f(1)=2\cdot1+1=3\)
\(f(2)=2\cdot2+1=5\)
\(f(3)=2\cdot3+1=7\)
Imagem: \(\{1,3,5,7\}\). Veja também funções polinomiais e seu crescimento.
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Dica: Para revisar notação de conjuntos e subconjuntos, consulte o artigo Conjuntos Numéricos.
1) Seja \(R=\{(a,1),(a,2),(b,3)\}\) com domínio \(A=\{a,b\}\) e contradomínio \(B=\{1,2,3\}\). \(R\) é função de \(A\) em \(B\)?
- Sim, pois cada elemento de \(A\) tem imagem.
- Não, pois \(a\) possui duas imagens.
- Sim, pois \(B\) tem três elementos.
- Não, pois \(b\) não tem imagem.
Ver solução
2) Considere \(f:A\to B\) dada pela tabela do diagrama (a→2, b→3, c→5, d→7, e→1). Determine \(\mathrm{Im}(f)\).
- \(\{2,3,4,5\}\)
- \(\{1,2,3,5,7\}\)
- \(\{1,2,3,4,5,6,7\}\)
- \(\{a,b,c,d,e\}\)
Ver solução
Ordenando: \(\{1,2,3,5,7\}\).
3) Seja \(A=\{0,1,2,3\}\) e \(f(x)=2x+1\). Calcule \(f(A)\).
- \(\{1,2,3,4\}\)
- \(\{1,3,5,7\}\)
- \(\{0,2,4,6\}\)
- \(\{3,5,7,9\}\)
Ver solução
\(f(1)=3\)
\(f(2)=5\)
\(f(3)=7\)
Portanto, \(f(A)=\{1,3,5,7\}\).
4) Em \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), considere \(g(x)=x^2\). Qual é a imagem?
- \(\{-4,-1,0,1,4\}\)
- \(\{0,1,4\}\)
- \(\{-2,-1,0,1,2\}\)
- \(\{1,2,3,4,5\}\)
Ver solução
\(g(-1)=1\)
\(g(0)=0\)
\(g(1)=1\)
\(g(2)=4\)
Distintos ⇒ \(\{0,1,4\}\).
5) A relação \(h=\{(a,2),(b,2),(c,2)\}\) com \(A=\{a,b,c\}\) e \(B=\{1,2,3\}\) é função? Classifique quanto à sobrejetividade.
- Não é função.
- É função e é sobrejetora.
- É função e não é sobrejetora.
- É função e é injetora.
Ver solução
Não é sobrejetora: elementos 1 e 3 de \(B\) não são atingidos.
Também não é injetora, pois várias entradas têm a mesma imagem.
6) Seja \(A=\{1,2,3,4\}\) e \(p(x)=\begin{cases}x/2,&x \text{ par}\\ 3x+1,&x \text{ ímpar}\end{cases}\). Calcule \(p(A)\).
- \(\{1,2,3,4\}\)
- \(\{2,4,6,8\}\)
- \(\{2,4,10,1.5\}\)
- \(\{2,7,10,2\}\)
Ver solução
\(x=1\) (ímpar) ⇒ \(3(1)+1=4\)
\(x=2\) (par) ⇒ \(2/2=1\)
\(x=3\) (ímpar) ⇒ \(3(3)+1=10\)
\(x=4\) (par) ⇒ \(4/2=2\)
Logo, \(p(A)=\{4,1,10,2\}\) = \(\{1,2,4,10\}\).
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