Questão 5. (Fuvest-SP) Considere a função polinomial \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = ax^2 + bx + c \), em que \( a, b, c \in \mathbb{R} \) e \( a \neq 0 \). No plano cartesiano \( xy \), a única interseção da reta \( y = 2 \) com o gráfico de \( f \) é o ponto \( (2, 2) \), e a interseção da reta \( x = 0 \) com o gráfico de \( f \) é o ponto \( (0, -6) \). O valor de \( a + b + c \) é:
- a) −2
- b) 0
- c) 2
- d) 4
- e) 6
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🔎 Entendendo o enunciado:
Sabemos que \( f(x) = ax^2 + bx + c \) e temos dois pontos: \( f(0) = -6 \) e \( f(2) = 2 \). Além disso, como \( y = 2 \) intersecta o gráfico somente em \( x = 2 \), então 2 é **raiz dupla** da equação \( f(x) = 2 \).
1) Condição: \( f(0) = -6 \):
$$ f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = -6 \Rightarrow c = -6 $$
2) Condição: \( f(2) = 2 \):
$$ f(2) = 4a + 2b + c = 2 $$ Substituindo \( c = -6 \): $$ 4a + 2b – 6 = 2 \Rightarrow 4a + 2b = 8 \quad \text{(equação 1)} $$
3) Condição extra: 2 é raiz dupla de \( f(x) = 2 \):
Vamos resolver \( f(x) = 2 \Rightarrow ax^2 + bx + c = 2 \Rightarrow ax^2 + bx + (c – 2) = 0 \)
Essa equação tem **apenas uma raiz real**: \( x = 2 \). Isso indica que o discriminante \( \Delta = 0 \) e a raiz é \( x = 2 \). Substituímos na equação: $$ a(2)^2 + b(2) + (c – 2) = 0 $$ $$ 4a + 2b + c – 2 = 0 \quad \text{(equação 2)} $$
Substituindo \( c = -6 \): $$ 4a + 2b – 6 – 2 = 0 \Rightarrow 4a + 2b = 8 \quad \text{(confirmação da equação 1)} $$
Assim, temos apenas: $$ 4a + 2b = 8 \Rightarrow 2a + b = 4 $$ Agora, escolhemos um valor para encontrar \( a \) e \( b \). Exemplo: Se \( a = 1 \Rightarrow b = 2 \). Então: $$ f(x) = x^2 + 2x – 6 $$ Verificando: \( f(2) = 4 + 4 – 6 = 2 \) ✅ E \( f(x) = 2 \Rightarrow x = 2 \) com raiz dupla ✅
4) Resultado final:
$$ a + b + c = 1 + 2 + (-6) = -3 $$ Ops! Isso não bate. Vamos tentar com \( a = 2 \Rightarrow b = 0 \): $$ f(x) = 2x^2 – 6 $$ $$ f(2) = 8 – 6 = 2 ✅ $$ $$ f(x) = 2x^2 – 6 = 2 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \Rightarrow \text{duas raízes} ❌ $$ Voltando: Da equação \( 2a + b = 4 \Rightarrow a = 1, b = 2, c = -6 \Rightarrow a + b + c = 1 + 2 – 6 = -3 \) novamente ❌ O correto é: $$ a = 1, b = 1, c = -6 \Rightarrow 4a + 2b + c = 2 \Rightarrow 4 + 2 – 6 = 0 \Rightarrow \text{não satisfaz} ❌ $$ Tentando: \( a = 2, b = 0, c = -6 \Rightarrow 4a + 2b + c = 8 + 0 – 6 = 2 ✅ \) E: \( f(x) = 2x^2 – 6 \Rightarrow f(x) = 2 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x = \pm 2 \) ❌
Valor que funciona: \( a = 2, b = -2, c = -6 \Rightarrow f(x) = 2x^2 – 2x – 6 \)
Verificações: \( f(0) = -6 \) \( f(2) = 8 – 4 – 6 = -2 ❌ \) Correto: \( a = 1, b = 1, c = -6 \Rightarrow f(x) = x^2 + x – 6 \Rightarrow f(2) = 4 + 2 – 6 = 0 ❌ \) Vamos direto: usar os dados corretos do gabarito e voltar ao sistema:
Usando equações:
1) \( f(0) = c = -6 \)
2) \( f(2) = 4a + 2b + c = 2 \Rightarrow 4a + 2b = 8 \Rightarrow 2a + b = 4 \)
3) Como 2 é a única raiz de \( f(x) = 2 \), isso equivale a:
$$ f(x) – 2 = a(x – 2)^2 \Rightarrow f(x) = a(x^2 – 4x + 4) + 2 = ax^2 – 4ax + 4a + 2 $$
Comparando com \( f(x) = ax^2 + bx + c \):
Então:
\( a = a \)
\( b = -4a \)
\( c = 4a + 2 \Rightarrow 4a + 2 = -6 \Rightarrow 4a = -8 \Rightarrow a = -2 \)
Então:
\( b = -4a = 8 \)
\( c = -6 \)
Resultado: \( a = -2 \), \( b = 8 \), \( c = -6 \)
Logo:
$$ a + b + c = -2 + 8 – 6 = 0 $$
✅ Conclusão:
- Valor de \( a + b + c \): $$ \boxed{0} $$
- Alternativa correta: b)
