Questão 4. (PUC-RS) A função quadrática tem diversas aplicações no nosso dia a dia. Na construção de antenas parabólicas, superfícies de faróis de carros e outras aplicações, são exploradas propriedades da parábola, nome dado à curva que é o gráfico de uma função quadrática.
Seja \( p(x) = mx^2 + nx + 1 \). Se \( p(2) = 0 \) e \( p(-1) = 0 \), então os valores de \( m \) e \( n \) são, respectivamente, iguais a:
- a) \( -\frac{1}{2} \) e \( \frac{1}{2} \)
- b) \( -1 \) e \( 1 \)
- c) \( 1 \) e \( \frac{1}{2} \)
- d) \( -1 \) e \( -\frac{1}{2} \)
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🔎 Entendendo o enunciado:
Queremos encontrar os coeficientes \( m \) e \( n \) da função do segundo grau, sabendo que ela passa por dois pontos: \( x = 2 \) e \( x = -1 \), ambos com imagem \( y = 0 \).
1) Substituindo \( x = 2 \):
$$ p(2) = m(2)^2 + n(2) + 1 = 0 $$ $$ 4m + 2n + 1 = 0 \quad \text{(equação 1)} $$
2) Substituindo \( x = -1 \):
$$ p(-1) = m(-1)^2 + n(-1) + 1 = 0 $$ $$ m – n + 1 = 0 \quad \text{(equação 2)} $$
3) Resolvendo o sistema:
De (2): \( m = n – 1 \) Substituindo na (1): $$ 4(n – 1) + 2n + 1 = 0 $$ $$ 4n – 4 + 2n + 1 = 0 $$ $$ 6n – 3 = 0 \Rightarrow n = \frac{1}{2} $$ Agora: $$ m = \frac{1}{2} – 1 = -\frac{1}{2} $$
✅ Conclusão:
- Valores de \( m \) e \( n \): \( m = -\frac{1}{2} \), \( n = \frac{1}{2} \)
- Alternativa correta: a)
