Função Quadrática: Pontos notáveis da parábola

Pontos notáveis da parábola: vértice, zeros e intercepto em y (guia prático)

Pontos notáveis da parábola (função quadrática)

Para \(f(x)=ax^2+bx+c\) (\(a\neq0\)), os pontos que você sempre deve localizar são:

Vértice \((x_v,y_v)\): ponto de máximo (se \(a<0\)) ou mínimo (se \(a>0\)).
Zeros (ou raízes) \((x_1,0)\) e \((x_2,0)\) — quando existem.
Intercepto em \(y\): \((0,c)\).
Eixo de simetria: a reta \(x=x_v\).

Parábolas destacando vértice, zeros da função e ponto de interseção com o eixo y.

1) Fórmulas rápidas (para achar os notáveis)

\[ \begin{aligned} x_v &= -\frac{b}{2a}\\ y_v &= f(x_v) = -\frac{\Delta}{4a}\\ \Delta &= b^2-4ac\\ x_{1,2} &= \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\quad(\text{se }\Delta\ge0)\\ \text{Intercepto em } y &: (0,c) \end{aligned} \]

Propriedades úteis (quando \(x_1\) e \(x_2\) existem):

Média dos zeros: \(\dfrac{x_1+x_2}{2}=x_v\).
Distância entre zeros: \(|x_2-x_1|=\dfrac{\sqrt{\Delta}}{|a|}\).
Viète: \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\) e \(x_1x_2=\dfrac{c}{a}\).

2) Como localizar os pontos notáveis (passo a passo)

Calcule \(x_v=-\dfrac{b}{2a}\) e \(y_v=f(x_v)\).
Marque o intercepto \((0,c)\).
Se \(\Delta\ge0\), calcule os zeros por Bhaskara e confirme a simetria: o eixo \(x=x_v\) fica no meio de \(x_1\) e \(x_2\).
Use esses quatro pontos (vértice, \((0,c)\), as raízes) para guiar o esboço da parábola.

3) Exemplos resolvidos (com as contas uma embaixo da outra)

Exemplo A — \(f(x)=x^2-3x-4\)

Encontre vértice, zeros e intercepto no eixo \(y\).

\[ \begin{aligned} a&=1,\quad b=-3,\quad c=-4\\[3pt] x_v &= -\frac{b}{2a}\\ &= -\frac{-3}{2\cdot 1}\\ &= \frac{3}{2}\\[6pt] y_v &= f\!\left(\frac{3}{2}\right)\\ &= \left(\frac{3}{2}\right)^2 – 3\!\left(\frac{3}{2}\right) – 4\\ &= \frac{9}{4} – \frac{9}{2} – 4\\ &= \frac{9}{4} – \frac{18}{4} – \frac{16}{4}\\ &= -\frac{25}{4}\\[6pt] \Delta &= b^2 – 4ac\\ &= (-3)^2 – 4(1)(-4)\\ &= 9 + 16\\ &= 25\\[6pt] x_{1,2} &= \frac{-b\pm\sqrt{25}}{2a}\\ &= \frac{3\pm 5}{2}\\ &= \{-1,\ 4\}\\[6pt] \text{Intercepto em } y &: (0,c)=(0,-4) \end{aligned} \]

Verificações: \(\dfrac{-1+4}{2}=1{,}5=x_v\) (ok) e \(|4-(-1)|=5=\sqrt{\Delta}/|a|\) (ok).

Exemplo B — \(g(x)=-2x^2+4x+6\)

\[ \begin{aligned} a&=-2,\ b=4,\ c=6\\[3pt] x_v &= -\frac{b}{2a}\\ &= -\frac{4}{-4}\\ &= 1\\[6pt] y_v &= g(1)\\ &= -2(1)^2 + 4(1) + 6\\ &= -2 + 4 + 6\\ &= 8\\[6pt] \Delta &= b^2 – 4ac\\ &= 4^2 – 4(-2)(6)\\ &= 16 + 48\\ &= 64\\[6pt] x_{1,2} &= \frac{-b\pm\sqrt{64}}{2a}\\ &= \frac{-4\pm 8}{-4}\\ &= \{-1,\ 3\}\\[6pt] \text{Intercepto em } y &: (0,6) \end{aligned} \]

Como \(a<0\), o vértice \((1,8)\) é máximo. O eixo de simetria \(x=1\) fica no meio das raízes \(-1\) e \(3\).

Exemplo C — Caso sem zeros reais: \(h(x)=2x^2+4x+5\)

\[ \begin{aligned} a&=2,\ b=4,\ c=5\\[3pt] \Delta &= b^2-4ac\\ &= 16 – 40\\ &= -24\ (<0)\\[6pt] x_v &= -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{4} = -1\\ y_v &= h(-1) = 2(1) + 4(-1) + 5 = 2 - 4 + 5 = 3\\ \text{Intercepto em } y &: (0,5) \end{aligned} \]

Não há interseções com o eixo \(x\). Como \(a>0\), o vértice \((-1,3)\) é mínimo e a imagem é \([3,\infty)\).

4) Dicas e erros comuns

Esqueceu o intercepto em \(y\)? Ele é sempre \((0,c)\).
\(x_v=-\frac{b}{2a}\) é o meio entre as raízes (quando existem). Use isso para checar contas.
Se \(\Delta<0\), não há zeros reais: a parábola não cruza o eixo \(x\).
Ao esboçar, marque primeiro os notáveis; depois use a concavidade (sinal de \(a\)) para desenhar a curva suave.

5) Exercícios propostos (com gabarito)

1) Para \(f(x)=2x^2-8x+6\), determine vértice, zeros e intercepto em \(y\).

Gabarito

\[ \begin{aligned} a&=2,\ b=-8,\ c=6\\ x_v&=-\frac{-8}{4}=2\\ y_v&=f(2)=2(4)-8(2)+6=8-16+6=-2\\ \Delta&=(-8)^2-4(2)(6)=64-48=16\\ x_{1,2}&=\frac{8\pm 4}{4}=\{1,\ 3\}\\ (0,c)&=(0,6) \end{aligned} \]

2) Dada \(g(x)=-x^2-2x+3\), classifique o vértice (máximo/mínimo) e encontre os notáveis.

Gabarito

\[ \begin{aligned} a&=-1,\ b=-2,\ c=3\\ x_v&=-\frac{-2}{-2}=1\\ y_v&=g(1)=-1-2+3=0\\ \Delta&=(-2)^2-4(-1)(3)=4+12=16\\ x_{1,2}&=\frac{2\pm 4}{-2}=\{-1,\ 3\}\\ (0,c)&=(0,3) \end{aligned} \]

Como \(a<0\), o vértice \((1,0)\) é máximo (nesse caso, o vértice coincide com o zero duplo quando \(\Delta=0\); aqui é zero simples, pois \(\Delta>0\)).

3) Mostre que \(|x_2-x_1|=\dfrac{\sqrt{\Delta}}{|a|}\) quando as raízes existem.

Gabarito

\[ \begin{aligned} x_{1,2}&=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\ |x_2-x_1|&=\left|\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right|\\ &=\left|\frac{2\sqrt{\Delta}}{2a}\right|\\ &=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} \end{aligned} \]

6) Continue estudando

Função Quadrática (guia completo) Como construir o gráfico A parábola (foco e diretriz) Inequações produto Inequações quociente Sinal da função

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.