Questão 27. Dada a função definida por:
$$ f(x) = x^2 – (2m + 1)x + m^2 \quad \text{com } m \in \mathbb{R},\ m < -\frac{1}{4} $$ determine o valor de \( m \) de forma que \( f(x) > 0 \) para todo \( x \in \mathbb{R} \).
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🔎 Entendendo o enunciado:
Queremos encontrar valores de \( m \) para que a função quadrática seja **sempre positiva**, ou seja, **não tenha raízes reais** e o gráfico esteja acima do eixo \( x \).
1) A função é sempre positiva se:
- O coeficiente de \( x^2 \) for positivo (a > 0)
- O discriminante \( \Delta \) for negativo
Como o coeficiente de \( x^2 \) é 1 (positivo), basta garantir:
$$ \Delta = b^2 – 4ac < 0 $$
2) Substituindo os coeficientes:
Na função \( f(x) = x^2 – (2m + 1)x + m^2 \), temos:
\( a = 1,\quad b = -(2m + 1),\quad c = m^2 \)
$$ \Delta = [-(2m+1)]^2 – 4 \cdot 1 \cdot m^2 = (2m+1)^2 – 4m^2 $$
Expandindo:
$$ (2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 $$
$$ \Delta = 4m^2 + 4m + 1 – 4m^2 = 4m + 1 $$
3) Impor que \( \Delta < 0 \):
$$ 4m + 1 < 0 \Rightarrow m < -\frac{1}{4} $$
4) Conclusão:
A função será sempre positiva se:
- O valor de \( m \) for menor que \( -\frac{1}{4} \)
Como a condição já foi dada no enunciado (\( m \in \mathbb{R},\ m < -\frac{1}{4} \)), **todos os valores permitidos para \( m \)** satisfazem a condição.
✅ Conclusão:
- Todo \( m < -\frac{1}{4} \) torna \( f(x) > 0 \) para todo \( x \in \mathbb{R} \).
