Funções e Gráficos no Plano Cartesiano – 5 Questões Resolvidas Passo a Passo

🔎 Entendendo o enunciado:

Devemos identificar as coordenadas de cada ponto rotulado (A até J) observando suas posições nos eixos \(x\) e \(y\).

1) Localizando os pontos no plano:

• A: $$ (2,\ 2) $$
• B: $$ (0,\ 0) $$
• C: $$ (5,\ 0) $$
• D: $$ (0,\ 6) $$
• E: $$ (-3,\ 0) $$
• F: $$ (0,\ -2) $$
• G: $$ (-2,\ 4) $$
• H: $$ (-5,\ -5) $$
• I: $$ (4,\ -3) $$
• J: $$ (-5,\ 1) $$

2) Conclusão:

As coordenadas foram determinadas com base na contagem dos quadrados a partir da origem \((0,0)\), respeitando o sinal dos eixos.

🔎 Entendendo o enunciado:

Se dois pares ordenados representam o mesmo ponto, então suas coordenadas correspondentes devem ser iguais.

1) Igualando as coordenadas correspondentes:

Primeira coordenada:

$$ 2a – 3 = 5a – 1 $$

Segunda coordenada:

$$ b + 2 = 2b – 3 $$

2) Resolvendo a equação para \( a \):

$$ 2a – 3 = 5a – 1 $$

$$ -3 + 1 = 5a – 2a $$

$$ -2 = 3a \Rightarrow a = -\frac{2}{3} $$

3) Resolvendo a equação para \( b \):

$$ b + 2 = 2b – 3 $$

$$ 2 + 3 = 2b – b $$

$$ 5 = b $$

✅ Conclusão:

• Valor de \( a \): $$ a = -\frac{2}{3} $$
• Valor de \( b \): $$ b = 5 $$

🔎 Entendendo o enunciado:

Precisamos determinar a pontuação total de Manoel observando em qual região cada flecha caiu com base nas coordenadas fornecidas e nas regiões circulares do alvo.

1) Determinar a distância de cada ponto até a origem (0, 0):

• A: \( \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \approx 1{,}41 \) → Região vermelha → 1000 pontos
• B: \( \sqrt{(2{,}5)^2 + 1^2} = \sqrt{6{,}25 + 1} = \sqrt{7{,}25} \approx 2{,}69 \) → Região amarela → 300 pontos
• C: \( \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \approx 4{,}12 \) → Região verde → 50 pontos
• D: \( \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} \approx 5{,}66 \) → Região verde → 50 pontos
• E: \( \sqrt{6^2 + 5^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61} \approx 7{,}81 \) → Fora do alvo → 0 pontos

2) Contabilizar quantas flechas atingiram o menor círculo:

Somente o ponto A está no círculo vermelho (menor círculo).

Resposta (b): 1 flecha

3) Somar a pontuação total:

\( 1000 + 300 + 50 + 50 + 0 = 1400 \) pontos

Resposta (c): 1400 pontos

✅ Conclusão:

• b) 1 flecha no menor círculo
• c) Total de pontos: $$ \boxed{1400} $$

Função a)

Domínio: $$ D(f) = \{ x \in \mathbb{R} \mid -2 \leq x \leq 3 \} $$

Imagem: $$ \text{Im}(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid -2 \leq y \leq 2 \} $$

Função b)

Domínio: $$ D(f) = \{ x \in \mathbb{R} \mid -3 < x < 3 \} $$

Imagem: $$ \text{Im}(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid -1 \leq y \leq 3 \} $$

Função c)

Domínio: $$ D(f) = \{ x \in \mathbb{R} \mid -3 \leq x \leq 4 \text{ e } x \neq 1 \} $$

Imagem: $$ \text{Im}(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid -2 \leq y \leq 3 \} $$

Função d)

Domínio: $$ D(f) = \mathbb{R} $$

Imagem: $$ \text{Im}(f) = \mathbb{R} $$

Função e)

Domínio: $$ D(f) = \mathbb{R} $$

Imagem: $$ \text{Im}(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y \geq 0 \} $$

Função f)

Domínio: $$ D(f) = \{ x \in \mathbb{R} \mid x < 0 \} $$

Imagem: $$ \text{Im}(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y > 0 \} $$

✅ Conclusão:

• Domínio refere-se aos valores possíveis para \( x \)
• Imagem refere-se aos valores resultantes de \( f(x) \)

🔎 Entendendo o enunciado:

Precisamos analisar o gráfico da função \( T(t) \), que representa a temperatura ao longo do tempo em horas, para determinar:

1. Quando \( T(t) = 0^\circ \text{C} \);
2. O intervalo de variação da temperatura;
3. Os intervalos em que \( T(t) > 0 \).

a) Horários em que a temperatura é 0 ºC:

Observando o gráfico, a temperatura cruza o eixo \( x \) nos pontos:

$$ t = 2\text{h} \quad \text{e} \quad t = 8\text{h} $$

b) Intervalo de variação da temperatura:

O valor mínimo é \( -5^\circ \text{C} \) e o máximo é \( 13^\circ \text{C} \).

$$ \text{Variação: } [-5,\ 13] $$

c) Intervalo de tempo com temperatura positiva:

A função é positiva quando está acima do eixo \( x \), ou seja:

$$ t \in (0,\ 2) \cup (8,\ 24) $$

✅ Conclusão:

• a) Temperatura igual a 0 °C: às 2h e às 8h
• b) Intervalo de variação: de −5 °C a 13 °C
• c) Intervalos com temperatura positiva: de 0h às 2h e de 8h às 24h