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ITA 2024 — 2ª Fase — Questão 01 — PA & PG
Sejam \((a_n)\) uma progressão aritmética e \((b_n)\) uma progressão geométrica.
Se a razão de \((a_n)\) é \(r\), \(r \ne 0\), a razão de \((b_n)\) é \(q = \dfrac{1}{r}\), \(a_1 = b_1 = 4\) e
\[
a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = \frac{50}{3},
\]
determine \(n\) de modo que a soma dos \(n\) primeiros termos da progressão geométrica seja igual a \(-80\).
👀 Solução passo a passo
1) Primeiro, determine \(r\) pela soma dos 5 primeiros termos da PA:
Para PA: \(S_5 = \dfrac{5}{2}\big(2a_1 + (5-1)r\big)\). Com \(a_1=4\): \[ \frac{5}{2}\,(8 + 4r) = 20 + 10r = \frac{50}{3} \;\;\Rightarrow\;\; 10r = -\frac{10}{3} \;\;\Rightarrow\;\; r = -\frac{1}{3}. \] Logo, na PG: \(q = \dfrac{1}{r} = -3\) e \(b_1 = 4\).
2) Agora, use a soma dos \(n\) primeiros termos da PG:
\[ S_n = b_1\,\frac{q^n – 1}{q – 1} = 4\,\frac{(-3)^n – 1}{-3 – 1} = -\big(( -3)^n – 1\big) = 1 – (-3)^n. \] Impomos \(S_n = -80\): \[ 1 – (-3)^n = -80 \;\;\Rightarrow\;\; (-3)^n = 81 = 3^4. \] Como \( (-3)^n > 0\), \(n\) deve ser par; logo o menor \(n\) é \(n=4\).
Para PA: \(S_5 = \dfrac{5}{2}\big(2a_1 + (5-1)r\big)\). Com \(a_1=4\): \[ \frac{5}{2}\,(8 + 4r) = 20 + 10r = \frac{50}{3} \;\;\Rightarrow\;\; 10r = -\frac{10}{3} \;\;\Rightarrow\;\; r = -\frac{1}{3}. \] Logo, na PG: \(q = \dfrac{1}{r} = -3\) e \(b_1 = 4\).
2) Agora, use a soma dos \(n\) primeiros termos da PG:
\[ S_n = b_1\,\frac{q^n – 1}{q – 1} = 4\,\frac{(-3)^n – 1}{-3 – 1} = -\big(( -3)^n – 1\big) = 1 – (-3)^n. \] Impomos \(S_n = -80\): \[ 1 – (-3)^n = -80 \;\;\Rightarrow\;\; (-3)^n = 81 = 3^4. \] Como \( (-3)^n > 0\), \(n\) deve ser par; logo o menor \(n\) é \(n=4\).
Resposta: \(n = 4\).
