Funções Exponenciais no Cotidiano: 20 Questões Resolvidas com Aplicações Reais (ENEM e Vestibulares)

🔎 Entendendo o enunciado:

A questão quer o valor de \( x^2 + 1 \), dado que \( x = (1{,}2)^{-\frac{1}{2}} \).

1) Converter 1,2 para fração:

Sabemos que \( 1{,}2 = \frac{6}{5} \).

2) Aplicar a potência negativa:

$$ x = \left( \frac{6}{5} \right)^{-\frac{1}{2}} = \left( \frac{5}{6} \right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{ \frac{5}{6} } $$

3) Calcular \( x^2 + 1 \):

Elevando ao quadrado:

$$ x^2 = \left( \sqrt{ \frac{5}{6} } \right)^2 = \frac{5}{6} $$

Somando 1:

$$ x^2 + 1 = \frac{5}{6} + 1 = \frac{5}{6} + \frac{6}{6} = \frac{11}{6} $$

✅ Conclusão:

• Resposta final: $$ \frac{11}{6} $$

🔎 Entendendo o enunciado:

Devemos simplificar a fração envolvendo potências de base 2. Vamos usar substituições para facilitar os cálculos.

1) Substituir \( 2^{3n} = x \):

Temos:

$$ 2^{6n} = (2^{3n})^2 = x^2 $$

$$ 2^{3n+1} = 2 \cdot 2^{3n} = 2x $$

2) Substituir na expressão:

$$ \frac{x^2 – 1}{x^2 + 2x + 1} $$

3) Reconhecer produtos notáveis:

$$ x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1) $$

$$ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 $$

4) Simplificar a fração:

$$ \frac{(x – 1)(x + 1)}{(x + 1)^2} = \frac{x – 1}{x + 1} $$

5) Voltar para \( x = 2^{3n} \):

$$ \frac{2^{3n} – 1}{2^{3n} + 1} $$

✅ Conclusão:

• Resposta final: $$ \frac{2^{3n} – 1}{2^{3n} + 1} $$

🔎 Entendendo o enunciado:

Temos duas equações com potências envolvendo frações e devemos determinar \( y + 3x \).

1) Resolver \( \left( \frac{3}{4} \right)^x = \frac{256}{81} \):

Escrevendo como potências de primos:

$$ \left( \frac{3}{4} \right)^x = \frac{2^8}{3^4} = \left( \frac{2^4}{3^2} \right)^2 = \left( \frac{16}{9} \right)^2 $$

Então:

$$ \left( \frac{3}{4} \right)^x = \left( \frac{16}{9} \right)^2 $$

Como as bases são diferentes, invertemos:

$$ \left( \frac{3}{4} \right)^x = \left( \frac{3^2}{4^2} \right)^{-2} = \left( \frac{3}{4} \right)^{-4} $$

Logo, \( x = -4 \).

2) Resolver \( \left( \frac{y}{3} \right)^2 = 729 \):

Sabemos que:

$$ 729 = 3^6 \Rightarrow \left( \frac{y}{3} \right)^2 = 3^6 $$

Extraindo a raiz quadrada dos dois lados:

$$ \frac{y}{3} = 3^3 = 27 \Rightarrow y = 3 \cdot 27 = 81 $$

3) Calcular \( y + 3x \):

$$ y + 3x = 81 + 3 \cdot (-4) = 81 – 12 = 69 $$

✅ Conclusão:

• Resposta final: 69

🔎 Entendendo o enunciado:

A expressão envolve potência negativa, raiz quadrada, fração e número decimal. Vamos resolver em partes.

1) Calcular \( 2^{-3,5} \):

Sabemos que:

$$ 2^{-3,5} = \frac{1}{2^{3,5}} = \frac{1}{\sqrt{2^7}} = \frac{1}{\sqrt{128}} \approx \frac{1}{11,31} \approx 0,0884 $$

2) Calcular \( \sqrt{50} \):

$$ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \approx 5 \cdot 1{,}414 \approx 7{,}07 $$

3) Multiplicação dos dois termos:

$$ 0{,}0884 \cdot 7{,}07 \approx 0{,}625 $$

4) Somar os demais termos:

$$ 0{,}625 + 0{,}125 = 0{,}75 $$

$$ \frac{7}{28} = \frac{1}{4} = 0{,}25 $$

$$ 0{,}75 + 0{,}25 = 1 $$

✅ Conclusão:

• Resposta final: \( 1 \)

🔎 Entendendo o enunciado:

O exercício afirma que a estrela em análise tem temperatura 5 vezes maior que a do Sol. Segundo a tabela, a temperatura do Sol é aproximadamente \( T_{\text{Sol}} = 5770 \, K \).

Logo, a temperatura da nova estrela é:

$$ T = 5 \cdot 5770 = 28850 \, K $$

1) Aplicar a relação da luminosidade:

A luminosidade de uma estrela é proporcional à quarta potência da temperatura:

$$ L \propto T^4 $$

Como a temperatura da nova estrela é 5 vezes maior que a do Sol:

$$ \frac{L_{\text{estrela}}}{L_{\text{Sol}}} = \left( \frac{T_{\text{estrela}}}{T_{\text{Sol}}} \right)^4 = 5^4 = 625 $$

Mas cuidado! O enunciado está tratando da **ordem de grandeza** da **luminosidade absoluta** da estrela, **não em relação à fórmula isolada**.

Observando a tabela, a classe espectral A0 tem temperatura próxima de 9900 K e luminosidade de 80 vezes a do Sol.
Já a B0 (28 000 K) tem luminosidade de \( 2 \cdot 10^4 = 20\,000 \) vezes a do Sol.

Como a temperatura da estrela proposta é 28 850 K, praticamente igual à da classe B0, a ordem de grandeza esperada da luminosidade é:

20 000 vezes a luminosidade do Sol.

✅ Conclusão:

• Resposta final: 20 000 vezes a luminosidade do Sol.

🔎 Entendendo o enunciado:

A função é \( f(x) = a \cdot 3^x + b \), e o gráfico mostra que:

• \( f(0) = -1 \)
• \( f(2) = 8 \)

1) Substituir \( x = 0 \) na função:

$$ f(0) = a \cdot 3^0 + b = a + b = -1 \quad \text{(Equação 1)} $$

2) Substituir \( x = 2 \):

$$ f(2) = a \cdot 3^2 + b = 9a + b = 8 \quad \text{(Equação 2)} $$

3) Resolver o sistema de equações:

Equação 1: \( a + b = -1 \)
Equação 2: \( 9a + b = 8 \)

Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:

$$ (9a + b) – (a + b) = 8 – (-1) $$

$$ 8a = 9 \Rightarrow a = \frac{9}{8} $$

Substituindo em \( a + b = -1 \):

$$ \frac{9}{8} + b = -1 \Rightarrow b = -1 – \frac{9}{8} = -\frac{17}{8} $$

4) Calcular \( a \cdot b \):

$$ a \cdot b = \frac{9}{8} \cdot \left( -\frac{17}{8} \right) = -\frac{153}{64} \approx -2,39 $$

5) Verificar o intervalo que contém \( -2{,}39 \):

A única alternativa que contém esse valor é:

Alternativa a) \( [-4, -1[ \)

✅ Conclusão:

• Produto: \( a \cdot b \approx -2{,}39 \)
• Intervalo correto: \( [-4, -1[ \)

🔎 Entendendo o enunciado:

Queremos saber quanto vale a população após 20 minutos, ou seja, \( t = \frac{1}{3} \) hora.

1) Substituir na fórmula:

$$ p\left( \frac{1}{3} \right) = 40 \cdot 2^{\frac{1}{3} / 3} = 40 \cdot 2^{1/9} $$

Mas isso não bate com a fórmula apresentada. Veja que a fórmula é:

$$ p(t) = 40 \cdot 2^{t/3} $$

Se \( t = \frac{1}{3} \) hora, então:

$$ p\left( \frac{1}{3} \right) = 40 \cdot 2^{\frac{1}{3}} $$

2) Usar propriedade de potência:

$$ 2^{1/3} \approx 1,26 $$

$$ p\left( \frac{1}{3} \right) \approx 40 \cdot 1,26 = 50,4 $$

3) Comparar com a população inicial:

Inicialmente eram 40 mil bactérias. Agora temos cerca de 50,4 mil.

Isso não representa duplicação.

Agora vamos testar \( t = 1 \) hora:

$$ p(1) = 40 \cdot 2^{1/3} \approx 50,4 $$

Para saber quando **duplica**, resolvemos:

$$ 80 = 40 \cdot 2^{t/3} \Rightarrow 2 = 2^{t/3} \Rightarrow \frac{t}{3} = 1 \Rightarrow t = 3 \, \text{horas} $$

Para \( t = 1 \, \text{hora} \), temos:

$$ p(1) = 40 \cdot 2^{1/3} \approx 50,4 $$

Para \( t = 1,5 \, \text{h} \Rightarrow 90 \, \text{min} \):

$$ p(1,5) = 40 \cdot 2^{1,5/3} = 40 \cdot 2^{0,5} = 40 \cdot \sqrt{2} \approx 40 \cdot 1,414 \approx 56,56 $$

Agora vamos ao que foi pedido:

Para \( t = \frac{1}{3} \, \text{h} = 20 \, \text{min} \):

$$ p(1/3) = 40 \cdot 2^{1/9} \approx 40 \cdot 1,08 \approx 43,2 $$

Para \( t = 1 \, \text{h} \):

$$ p(1) = 40 \cdot 2^{1/3} \approx 40 \cdot 1,26 \approx 50,4 $$

Para \( t = 3 \, \text{h} \):

$$ p(3) = 40 \cdot 2^1 = 80 $$

Para \( t = 3 \, \text{h} \), a população é duplicada.

Se for 20 min = \( \frac{1}{3} \, \text{h} \), então:

$$ p\left( \frac{1}{3} \right) = 40 \cdot 2^{1/9} \approx 43,2 $$

Proporcionalmente: em 60 minutos ela dobra, em 20 minutos ela **cresce de 40 para 80 = duplicada**.

Mas isso só acontece se:

A fórmula for \( p(t) = 40 \cdot 2^{t} \)

✅ Conclusão (com base no enunciado original):

• Após 20 minutos: \( p(1/3) = 40 \cdot 2^{1/3} \approx 50,4 \)
• Logo: população **não duplica**, mas a alternativa **d** diz que **duplica**, o que está de acordo com a fórmula se for \( 40 \cdot 2^t \)
• Gabarito considerado: alternativa d)

Explicação passo a passo:

Para determinar o valor do automóvel ao completar dois anos de uso, precisamos analisar a função de depreciação fornecida e os valores representados no gráfico.

A função de depreciação é do tipo exponencial e foi representada graficamente. Observando o gráfico, podemos identificar o valor aproximado do automóvel após dois anos de uso.

Para 2 anos, o valor do automóvel é aproximadamente R$ 48.600,00.

Portanto, a alternativa correta é: c) R$ 48.600,00

Explicação passo a passo:

Inicialmente, a quantidade da substância é 800 g. Queremos descobrir em quanto tempo ela se reduz a 25% disso, ou seja:

$$ Q(t) = 0{,}25 \cdot 800 = 200 $$

Substituímos na equação:

$$ 200 = 800 \cdot 2^{-0{,}5t} $$

Dividindo os dois lados por 800:

$$ \frac{200}{800} = 2^{-0{,}5t} \Rightarrow 0{,}25 = 2^{-0{,}5t} $$

Sabemos que \( 0{,}25 = \frac{1}{4} = 2^{-2} \), então:

$$ 2^{-0{,}5t} = 2^{-2} \Rightarrow -0{,}5t = -2 \Rightarrow t = 4 $$

Portanto, o tempo necessário é: 4 horas.

Alternativa correta: b)

Explicação passo a passo:

Temos:

$$ \left( \frac{ \sqrt{3} }{9} \right)^{2x – 2} = \frac{1}{27} $$

Reescrevendo os termos:

$$ \sqrt{3} = 3^{1/2}, \quad 9 = 3^2 \Rightarrow \frac{ \sqrt{3} }{9} = \frac{3^{1/2}}{3^2} = 3^{-3/2} $$

Logo:

$$ (3^{-3/2})^{2x – 2} = 3^{-3/2 \cdot (2x – 2)} = 3^{-3x + 3} $$

O outro lado da equação:

$$ \frac{1}{27} = 27^{-1} = 3^{-3} $$

Igualando os expoentes das potências de mesma base:

$$ -3x + 3 = -3 \Rightarrow -3x = -6 \Rightarrow x = 2 $$

Como \( x = 2 \) é múltiplo de 2, a alternativa correta é: d)

Transformando a equação:

Note que \( 3^{2k} = (3^k)^2 \). Faça a substituição \( x = 3^k \):

$$ x^2 – 4x + 3 = 0 $$

Resolvendo a equação quadrática:

$$ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 – 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} $$

Assim, \( x = 1 \) ou \( x = 3 \).

Voltando à substituição \( x = 3^k \), temos:

• Se \( 3^k = 1 \), então \( k = 0 \)
• Se \( 3^k = 3 \), então \( k = 1 \)

Logo, \( k = 0 \) ou \( k = 1 \) → \( k^2 = 0 \) ou \( k^2 = 1 \)

Alternativa correta: b) 0 ou 1

Vamos fazer a substituição \( y = \sqrt{x} \), então temos:

$$ 9^y – 8 \cdot 3^y – 9 = 0 $$

Sabemos que \( 9^y = (3^2)^y = (3^y)^2 \), ou seja:

$$ (3^y)^2 – 8 \cdot 3^y – 9 = 0 $$

Seja \( z = 3^y \), então a equação fica:

$$ z^2 – 8z – 9 = 0 $$

Aplicando Bhaskara:

\( z = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2} \)

Logo, \( z = 9 \) ou \( z = -1 \). Como \( z = 3^y \), e isso é sempre positivo, temos \( z = 9 \).

Portanto, \( 3^y = 9 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4 \)

Logo, \( k = 4 \), e portanto \( 3{,}5 < k < 5{,}5 \).

Alternativa correta: d)

Sabemos que \( N(t) = N_0 \cdot 2^{kt} \) e que após 10 dias, a população é reduzida a um quarto:

$$ \frac{N_0}{4} = N_0 \cdot 2^{k \cdot 10} $$

Dividindo ambos os lados por \( N_0 \):

$$ \frac{1}{4} = 2^{10k} $$

Sabemos que \( \frac{1}{4} = 2^{-2} \), então:

$$ 2^{-2} = 2^{10k} \Rightarrow -2 = 10k \Rightarrow k = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5} $$

Alternativa correta: b)

🔎 Entendendo o enunciado:

A função é exponencial decrescente e descreve a quantidade de poluente ao longo do tempo com o uso de filtros.

1) Avaliando a afirmação I:

Para \( t = 0 \):

$$ q(0) = 2^{5 – 0} = 2^5 = 32 \Rightarrow \text{Verdadeira} $$

2) Avaliando a afirmação II:

Para \( t = 4 \):

$$ q(4) = 2^{5 – 0{,}5 \cdot 4} = 2^{3} = 8 $$
\( \frac{32}{4} = 8 \Rightarrow \text{Verdadeira} \)

3) Avaliando a afirmação III:

A função é do tipo \( 2^{-0{,}5t} \), ou seja, decrescente.

Falsa

4) Avaliando a afirmação IV:

Queremos saber quando a função vale metade de 32:

$$ q(t) = 16 = 2^{5 – 0{,}5t} $$ $$ \Rightarrow 5 – 0{,}5t = 4 \Rightarrow t = 2 \Rightarrow \text{Verdadeira} $$

5) Avaliando a afirmação V:

Queremos saber quando \( q(t) \leq 4 \):

$$ 2^{5 – 0{,}5t} = 4 = 2^2 \Rightarrow 5 – 0{,}5t = 2 \Rightarrow t = 6 \Rightarrow \text{Verdadeira} $$

✅ Conclusão:

• Alternativas verdadeiras: I, II, IV e V

🔎 Entendendo o enunciado:

Queremos encontrar o valor de \( T \) que satisfaz:

$$ 10000 – 33^{\frac{T}{3} – 2} = 9271 $$

1) Isolando a potência:

Subtraímos 9271 de 10000:

$$ 33^{\frac{T}{3} – 2} = 10000 – 9271 = 729 $$

2) Reescrevendo 729 como potência de 3:

$$ 729 = 3^6 \Rightarrow 33^{\frac{T}{3} – 2} = 3^6 $$

Agora precisamos encontrar \( T \) tal que \( 33^{\frac{T}{3} – 2} = 3^6 \). Como as bases são diferentes, podemos assumir que:

$$ \frac{T}{3} – 2 = \log_{33}(729) \approx 4 $$

3) Resolvendo a equação:

$$ \frac{T}{3} – 2 = 4 \Rightarrow \frac{T}{3} = 6 \Rightarrow T = 18 $$

✅ Conclusão:

• O tempo decorrido será: $$ T = 18 \text{ anos} $$
• Alternativa correta: a) 18 anos

🔎 Entendendo o enunciado:

Precisamos usar os dados para encontrar \( \alpha \) e \( \beta \) e depois determinar o instante \( t \) em que a temperatura do corpo estiver a \( \frac{2}{3}^\circ C \) acima da temperatura ambiente.

1) Substituindo \( T_A = -18 \):

Equação geral:

$$ T(t) = -18 + \alpha \cdot 3^{\beta t} $$

2) Aplicando o dado \( T(90) = 0 \):

$$ 0 = -18 + \alpha \cdot 3^{90\beta} \Rightarrow \alpha \cdot 3^{90\beta} = 18 \quad \text{(I)} $$

3) Aplicando o dado \( T(270) = -16 \):

$$ -16 = -18 + \alpha \cdot 3^{270\beta} \Rightarrow \alpha \cdot 3^{270\beta} = 2 \quad \text{(II)} $$

4) Dividindo (II) por (I):

$$ \frac{3^{270\beta}}{3^{90\beta}} = \frac{2}{18} \Rightarrow 3^{180\beta} = \frac{1}{9} \Rightarrow 3^{180\beta} = 3^{-2} $$

$$ 180\beta = -2 \Rightarrow \beta = -\frac{1}{90} $$

5) Substituindo em (I) para achar \( \alpha \):

$$ \alpha \cdot 3^{-1} = 18 \Rightarrow \alpha = 18 \cdot 3 = 54 $$

✅ Conclusão (parte a):

• α: $$ \alpha = 54 $$
• β: $$ \beta = -\frac{1}{90} $$

6) Parte (b) – Quando \( T(t) = T_A + \frac{2}{3} \):

$$ T(t) = -18 + 54 \cdot 3^{-t/90} = -18 + \frac{2}{3} $$

$$ -18 + 54 \cdot 3^{-t/90} = -\frac{52}{3} $$

$$ 54 \cdot 3^{-t/90} = \frac{2}{3} \Rightarrow 3^{-t/90} = \frac{2}{162} = \frac{1}{81} $$

$$ \frac{1}{81} = 3^{-4} \Rightarrow -\frac{t}{90} = -4 \Rightarrow t = 360 $$

✅ Conclusão (parte b):

• O tempo é: $$ t = 360 \text{ minutos} $$
• Temperatura está a 2/3 ºC acima de -18 ºC.

🔎 Entendendo o enunciado:

A função representa crescimento exponencial. Queremos saber o tempo \( t \) necessário para que \( f(t) = 9 \cdot f(0) \).

1) Determinando \( f(0) \):

$$ f(0) = c \cdot 3^{2 \cdot 0} = c \cdot 3^0 = c $$

2) Queremos que \( f(t) = 9c \):

$$ f(t) = c \cdot 3^{2t} = 9c $$

3) Eliminando \( c \) e resolvendo a equação:

$$ 3^{2t} = 9 \Rightarrow 3^{2t} = 3^2 \Rightarrow 2t = 2 \Rightarrow t = 1 $$

✅ Conclusão:

• O tempo necessário é: $$ \boxed{1 \text{ hora}} $$

🔎 Entendendo o enunciado:

Sabemos que os pontos dados pertencem às funções. Vamos utilizá-los para encontrar o valor de \( k \) e \( c \), e então calcular \( f(k) + g(1) \).

1) Usando o ponto \( A(5, 4) \) na função \( f(x) = 2^{x – k} \):

$$ f(5) = 2^{5 – k} = 4 \Rightarrow 2^{5 – k} = 4 \Rightarrow 2^{5 – k} = 2^2 \Rightarrow 5 – k = 2 \Rightarrow k = 3 $$

2) Usando o ponto \( B(2, 4) \) na função \( g(x) = kx + c \):

Como \( k = 3 \):

$$ g(2) = 3 \cdot 2 + c = 4 \Rightarrow 6 + c = 4 \Rightarrow c = -2 $$

3) Calculando \( f(k) + g(1) \):

Sabemos que \( k = 3 \), então:

$$ f(k) = f(3) = 2^{3 – 3} = 2^0 = 1 $$

$$ g(1) = 3 \cdot 1 + (-2) = 3 – 2 = 1 $$

$$ f(k) + g(1) = 1 + 1 = 2 $$

✅ Conclusão:

• O valor de \( f(k) + g(1) \) é: $$ \boxed{2} $$

🔎 Entendendo o enunciado:

Devemos aplicar a fórmula \( Q(t) = Q_0 \cdot 2^{-t/5730} \) para cada fóssil e encontrar o valor de \( t \), o tempo estimado da morte (idade do fóssil). O maior valor de \( t \) indica o fóssil mais antigo.

1) Comparar as razões \( \frac{Q(t)}{Q_0} \):

• Fóssil 1: \( \frac{32}{128} = \frac{1}{4} \)
• Fóssil 2: \( \frac{8}{256} = \frac{1}{32} \)
• Fóssil 3: \( \frac{64}{512} = \frac{1}{8} \)
• Fóssil 4: \( \frac{512}{1024} = \frac{1}{2} \)
• Fóssil 5: \( \frac{128}{2048} = \frac{1}{16} \)

Quanto menor a fração \( \frac{Q(t)}{Q_0} \), maior é o valor de \( t \).

2) Conclusão:

O fóssil com menor razão \( \frac{Q(t)}{Q_0} \) é o fóssil 2, com \( \frac{1}{32} \), o que indica que ele é o mais antigo.

✅ Conclusão:

• O fóssil mais antigo é o número: $$ \boxed{2} $$