Descrição: Questão da FGV, aplicada no concurso SEFAZ-PR – Auditor Fiscal – 2025 (Prova Manhã), no conteúdo de Geometria Espacial, envolvendo raciocínio com medidas de esferas posicionadas acima e abaixo de uma superfície plana.
Enunciado:
Lúcia tem uma mesa em sua sala. Sobre essa mesa, estão duas esferas.
Lúcia verifica que a distância do piso horizontal da sala ao ponto mais alto da primeira esfera, que repousa diretamente sobre a mesa, é 120 cm.
Em seguida, Lúcia coloca a outra esfera no chão, debaixo da mesa, e verifica que a distância do tampo horizontal da mesa ao ponto mais alto da segunda esfera é de 40 cm.
Se a diferença entre os raios das esferas é de 12 cm e a espessura do tampo da mesa é desprezível, é correto concluir que a menor das esferas tem raio igual a:
- A) 14 cm
- B) 15 cm
- C) 16 cm
- D) 17 cm
- E) 18 cm
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Temos os seguintes dados:
- Distância entre os topos das esferas = 80 cm
- Diferença entre os raios = 12 cm
- Logo, diferença entre os diâmetros = 24 cm
Seja:
- \( D_m \): diâmetro da menor esfera
- \( D_M \): diâmetro da maior esfera
Sabemos que:
\[ D_m + D_M = 80 \quad \text{(soma dos diâmetros)} \\ D_M – D_m = 24 \quad \text{(diferença dos diâmetros)} \]Somando as equações:
\[ (D_m + D_M) + (D_M – D_m) = 80 + 24 = 104 \Rightarrow 2D_M = 104 \Rightarrow D_M = 52 \\ D_m = 80 – 52 = 28 \]Convertendo para raios:
\[ R_M = \frac{52}{2} = 26 \quad \text{(raio maior)} \\ R_m = \frac{28}{2} = 14 \quad \text{(raio menor)} \]Verificação:
- Raio menor: 14 cm
- Raio maior: 14 + 12 = 26 cm
- Soma dos raios: \( 14 + 26 = 40 \)
- Altura total até o topo da esfera de cima = \( 40 + 80 = 120 \, \text{cm} \)
Resposta correta: A) 14 cm
