Grandezas Proporcionais
[Rúbia] Olá, pessoal! Estamos juntos novamente na disciplina de Matemática Básica. Nesta aula, vamos tratar de um tema muito presente em nosso dia a dia: grandezas proporcionais.
O que é uma grandeza?
Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido. Ao medir algo, utilizamos uma unidade de medida. Por exemplo, a distância pode ser medida em metros (\(m\)), centímetros (\(cm\)) ou quilômetros (\(km\)). A massa pode ser medida em gramas (\(g\)) ou quilogramas (\(kg\)). O tempo em segundos (\(s\)), minutos (\(min\)) ou horas (\(h\)).
Se uma parede tem 5 metros de comprimento, podemos dizer que ela mede \(5\,m = 500\,cm\).
Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, ao aumentar uma delas, a outra também aumenta na mesma razão. Nesse caso, o quociente entre elas é uma constante \(k\):
\(\frac{A}{B} = k \)
Se 3 litros de tinta pintam 15 \(m^2\) de parede, então 6 litros pintarão 30 \(m^2\). A relação é direta: dobramos a quantidade de tinta e dobramos a área.
Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao aumentar uma, a outra diminui na mesma proporção. O produto das grandezas é constante:
A \(\times\) B = k
Para percorrer uma distância de 420 km:
- Se a velocidade for 60 km/h, o tempo será 7 h.
- Se a velocidade aumentar para 70 km/h, o tempo será 6 h.
- Se a velocidade for 100 km/h, o tempo cai para 4,2 h.
Observe que \( 60 \times 7 = 70 \times 6 = 100 \times 4,2 = 420 \).
Grandezas não proporcionais
Nem sempre há proporcionalidade entre duas grandezas. Por exemplo, ao aumentar o lado de um quadrado de 3 cm para 6 cm, o perímetro dobra (de 12 para 24 cm), mas a área não: passa de 9 \(cm^2\) para 36 \(cm^2\), quadruplicando.
Exemplo prático
Um terreno em formato retangular possui diagonal de 20 m e lados proporcionais a 3 e 4.
Multiplicando a proporção por 4, temos os lados \( 12\,m \) e \( 16\,m \). O perímetro será \( 2(12 + 16) = 56\,m \).
Exemplo de grandezas inversas
Uma fábrica com 15 funcionários, trabalhando 8 h/dia, produz 1.200 peças. Se 5 funcionários faltam, restam 10. Para manter a mesma produção:
\(\frac{15}{10} = \frac{x}{8} \implies x = 12 \, h \).
Os 10 funcionários precisarão trabalhar 12 horas nesse dia.
Classificação das grandezas
- Diretamente proporcionais: litros de combustível e km percorridos.
- Inversamente proporcionais: número de pessoas pintando uma parede e tempo gasto.
- Não proporcionais: crescimento humano em relação ao tempo.
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1) Uma torneira enche um tanque em 6 horas. Se forem abertas 3 torneiras idênticas, em quanto tempo o tanque ficará cheio?
As grandezas são inversamente proporcionais: mais torneiras, menos tempo.
\( 1 \, \text{torneira} \to 6\,h \).
\( 3 \, \text{torneiras} \to x\,h \).
\( 1 \times 6 = 3 \times x \Rightarrow x = \frac{6}{3} = 2\,h \).
2) Uma impressora imprime 120 páginas em 10 minutos. Quantas páginas ela imprimirá em 35 minutos?
Grandezas diretamente proporcionais: mais tempo, mais páginas.
\( 10 \,min \to 120\,páginas \).
\( 35\,min \to x \,páginas \).
\( \frac{120}{10} = \frac{x}{35} \Rightarrow x = \frac{120 \cdot 35}{10} = 420 \,páginas. \)
3) Para pavimentar uma estrada, 12 trabalhadores levam 15 dias. Quantos trabalhadores serão necessários para fazer o mesmo serviço em 9 dias?
Grandezas inversamente proporcionais: mais trabalhadores, menos dias.
\( 12 \, \text{homens} \to 15\,dias \).
\( x \, \text{homens} \to 9\,dias \).
\( 12 \cdot 15 = x \cdot 9 \Rightarrow x = \frac{12 \cdot 15}{9} = 20 \, trabalhadores. \)
4) Em uma receita, 300 g de farinha produzem 20 pães. Quantos pães podem ser feitos com 525 g de farinha, mantendo a mesma proporção?
Grandezas diretamente proporcionais:
\( 300\,g \to 20\,pães \).
\( 525\,g \to x\,pães \).
\( \frac{20}{300} = \frac{x}{525} \Rightarrow x = \frac{20 \cdot 525}{300} = 35\,pães. \)
5) Um carro percorre 180 km com 20 litros de combustível. Quantos litros serão necessários para percorrer 450 km?
Grandezas diretamente proporcionais:
\( 180\,km \to 20\,L \).
\( 450\,km \to x\,L \).
\( \frac{20}{180} = \frac{x}{450} \Rightarrow x = \frac{20 \cdot 450}{180} = 50\,L. \)
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