Igualdade entre pares de ângulos opostos — \( \beta + \alpha = \theta + \delta \)

Prova em 3 linhas (com a soma dos internos)

Seja \( \varphi \) o ângulo no ponto de interseção das retas. Os ângulos do cruzamento são opostos pelo vértice, então são iguais.

Moral: as somas dos “ângulos das pontas” dos dois triângulos são iguais porque ambos “completam” o mesmo \( \varphi \) até \(180^\circ\).

Exemplos resolvidos (passo a passo)

Exemplo 1 — Encontrar uma soma de ângulos

Na figura em “X”, \( \varphi = 62^\circ \). Sabendo que no triângulo da esquerda \( \alpha = 31^\circ \), calcule \( \beta \) e a soma \( \alpha + \beta \). Depois compare com \( \theta + \delta \).

Exemplo 2 — Determinar um ângulo do outro triângulo

Dado \( \alpha = 40^\circ \), \( \beta = 53^\circ \) e \( \delta = 70^\circ \). Calcule \( \theta \).

Exemplo 3 — Com incógnitas algébricas

Se \( \alpha = 2x + 5^\circ \), \( \beta = x + 10^\circ \) e \( \delta = 3x – 1^\circ \), determine \( \theta \).

Exercícios propostos (com toggle)

Escreva as contas uma abaixo da outra após o “=” para leitura perfeita no celular.

1) Discursiva — Placas cruzadas

Em duas placas que se cruzam, \( \alpha = 28^\circ \) e \( \delta = 77^\circ \). Sabendo que \( \alpha + \beta = \theta + \delta \), determine \( \theta – \beta \).

2) Múltipla escolha — Somas iguais

Na figura, \( \alpha = 36^\circ \), \( \beta = 44^\circ \) e \( \theta = 70^\circ \). Quanto vale \( \delta \)?

1. \(32^\circ\)
2. \(40^\circ\)
3. \(46^\circ\)
4. \(50^\circ\)

3) Discursiva — Descubra o ângulo do outro triângulo

Se \( \alpha = 2y \), \( \beta = 3y \) e \( \theta = 80^\circ \), encontre \( \delta \).

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