Inclinação da Reta Tangente
Aprenda como calcular a inclinação da reta tangente a uma curva no ponto desejado, entenda sua relação com derivadas e veja exemplos resolvidos passo a passo.
1) O que é a inclinação da reta tangente?
A inclinação da reta tangente representa a taxa de variação instantânea de uma função \(f(x)\) em um ponto específico. Geometricamente, ela indica o quão inclinada está a reta que toca a curva exatamente em um ponto \(A(a, f(a))\).
Para determinar essa inclinação, usamos a fórmula do limite:
\( m = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x) – f(a)}{x – a} \)
2) Relação com a reta secante
Se considerarmos dois pontos próximos \(A(a, f(a))\) e \(P(x, f(x))\) na curva, a inclinação da reta secante é:
\( m_{PA} = \dfrac{f(x) – f(a)}{x – a} \)
Quando fazemos \(x \to a\), ou seja, aproximamos os dois pontos, a reta secante se transforma na reta tangente:
\( m = \lim\limits_{x \to a} m_{PA} = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x) – f(a)}{x – a} \)
3) Substituição por incremento \(h\)
Fazendo a substituição \(h = x – a\), temos \(x = a + h\) e, quando \(x \to a\), obtemos \(h \to 0\). A fórmula da inclinação fica:
\( m = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) – f(a)}{h} \)
4) Exemplo resolvido
Exemplo — Tangente à curva \(f(x) = x^2 + 1\) no ponto \(A(1,2)\)
Passo 1: Fórmula com \(h\):
\(m = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(1+h) – f(1)}{h}\)
Passo 2: Substituindo \(f(x)=x^2+1\):
\(m = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{(1+h)^2 + 1 – 2}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{h^2 + 2h}{h}\)
Passo 3: Simplificando:
\(m = \lim\limits_{h \to 0} (h + 2) = 2\)
Passo 4: Equação da reta tangente:
\(y – 2 = 2(x – 1) \Rightarrow \boxed{y = 2x}\)
5) Leia também
- Reta Tangente e Secante — relação entre derivada, taxa de variação e secantes.
- Equação da Reta — conceito, formas e aplicações práticas.
Inclinação da Reta Tangente — 5 Questões por Limite
Todas as inclinações são calculadas pela definição: \[ m=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \] As alternativas ficam no enunciado; o abre/fecha aparece apenas na solução.
1) Polinomial cúbica (em \(x=2\))
Para \(f(x)=x^{3}-2x+1\), calcule a inclinação da tangente em \(x=2\) e escolha a equação correta da reta tangente.
- \(y=10x-15\)
- \(y=10x-5\)
- \(y=5x-15\)
- \(y=12x-19\)
- \(y=10x+15\)
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A. Inclinação \(m=10\).2) Radical via definição (em \(x=1\))
Para \(f(x)=\sqrt{x+3}\), determine a inclinação da tangente em \(x=1\) pela definição e escolha a equação correta.
- \(y=\tfrac14 x+1\)
- \(y=\tfrac14 x+\tfrac{7}{4}\)
- \(y=\tfrac12 x+1\)
- \(y=\tfrac13 x+2\)
- \(y=\tfrac14 x+2\)
Mostrar solução (por limite)
B. Inclinação \(m=\tfrac14\).3) Tangente horizontal (em \(x=0\))
Para \(f(x)=\ln(x^2+1)\), determine onde a tangente é horizontal e escolha a reta correta.
- \(y=0\)
- \(y=1\)
- \(y=x\)
- \(y=-x\)
- \(y=2x\)
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A. Inclinação \(m=0\).4) Racional por definição (em \(x=2\))
Para \(f(x)=\dfrac{x}{x-1}\), calcule \(m\) em \(x=2\) pela definição e escolha a equação correta da tangente.
- \(y=-x+4\)
- \(y=x-4\)
- \(y=-x-2\)
- \(y=x+2\)
- \(y=-2x+4\)
Mostrar solução (por limite)
A. Inclinação \(m=-1\).5) Curva implícita (circunferência superior)
Considere \(y=\sqrt{25-x^2}\) (meia circunferência superior). Calcule a inclinação da tangente no ponto \((3,4)\) pela definição e escolha a equação correta.
- \(y=-\tfrac34x+\tfrac{25}{4}\)
- \(y=\tfrac34x+\tfrac{25}{4}\)
- \(y=-\tfrac54x+\tfrac72\)
- \(y=-\tfrac34x+4\)
- \(y=\tfrac34x+4\)
Mostrar solução (por limite)
A. Inclinação \(m=-\tfrac34\).
