Segundo as previsões de um jornal econômico, o PIB anual de um país(y) em bilhões de dólares daqui a x anos poderá ser calculado pela expressão: y = 4/5x2 – 8x + 80. Para quais valores de x, o PIB anual desse país ultrapassará 140 bilhões de dólares?
A) x > 15
B) x > 5
C) x < 15
D) x < 5
E) x > 10
Ver Solução
Para resolver o problema, queremos encontrar os valores de ( x ) para os quais o PIB anual ( y ) ultrapassa 140 bilhões de dólares, ou seja, precisamos resolver a desigualdade:
y > 140
A expressão que relaciona o PIB ( y ) ao número de anos ( x ) é dada por:
Substituímos ( y > 140 ) na equação:
Passo 1: Isolando a equação
Subtraímos 140 de ambos os lados:
Simplificando:
Vamos começar do passo 3, onde temos a equação:4×2−40x−300>04x^2 – 40x – 300 > 04×2−40x−300>0
Passo 3: Dividir por 4
Agora, dividimos toda a equação por 4 para simplificar:
Passo 4: Resolver a equação quadrática
Precisamos encontrar as raízes da equação x2 − 10x − 75 = 0. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, a=1, b=−10, e c=−75. Substituímos esses valores na fórmula:
Calculando o discriminante:
Passo 5: Encontrar as raízes
Agora, calculamos as duas soluções:
Passo 6: Análise da inequação
A equação x2 − 10x − 75 > 0 é positiva fora do intervalo entre as raízes x=−5 e x=15. Portanto, a solução da desigualdade ocorre quando x<−5 ou x>15.
No contexto do problema, onde xxx representa o número de anos no futuro, não faz sentido considerar valores negativos de xxx. Assim, temos:
x>15
Resposta:
A alternativa correta é A) x>15.
