Segundo as previsões de um jornal econômico, o PIB anual de um país(y) em bilhões de dólares daqui a x anos poderá ser calculado pela expressão: y = 4/5x² – 8x + 80. Para quais valores de x, o PIB anual desse país ultrapassará 140 bilhões de dólares?

A) x > 15

B) x > 5

C) x < 15

D) x < 5

E) x > 10

Solução em vídeo

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Para resolver o problema, queremos encontrar os valores de ( x ) para os quais o PIB anual ( y ) ultrapassa 140 bilhões de dólares, ou seja, precisamos resolver a desigualdade:

y > 140

A expressão que relaciona o PIB ( y ) ao número de anos ( x ) é dada por:

Substituímos ( y > 140 ) na equação:

Passo 1: Isolando a equação

Subtraímos 140 de ambos os lados:

Simplificando:

Vamos começar do passo 3, onde temos a equação:4×2−40x−300>04x^2 – 40x – 300 > 04×2−40x−300>0

Passo 3: Dividir por 4

Agora, dividimos toda a equação por 4 para simplificar:

Passo 4: Resolver a equação quadrática

Precisamos encontrar as raízes da equação x² − 10x − 75 = 0. Usamos a fórmula de Bhaskara:

Aqui, a=1, b=−10, e c=−75. Substituímos esses valores na fórmula:

Calculando o discriminante:

Passo 5: Encontrar as raízes

Agora, calculamos as duas soluções:

Passo 6: Análise da inequação

A equação x² − 10x − 75 > 0 é positiva fora do intervalo entre as raízes x=−5 e x=15. Portanto, a solução da desigualdade ocorre quando x<−5 ou x>15.

No contexto do problema, onde xxx representa o número de anos no futuro, não faz sentido considerar valores negativos de xxx. Assim, temos:

x>15

Resposta:

A alternativa correta é A) x>15.

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