Inequações do Segundo Grau – Questão 29 Resolvida

Inequações do Segundo Grau – Questão 29 Resolvida
Questão 29 – Inequações do 2º Grau

Questão 29. Resolva as seguintes inequações do 2º grau:

a) \( x^2 – 2x – 8 < 0 \)

b) \( 9x^2 – 8x – 1 \geq 0 \)

c) \( -3x^2 + 2x – 1 > 0 \)

d) \( -x^2 + 4x – 4 < 0 \)

a) 🔍 Ver solução passo a passo

1) Resolver a equação:

$$ x^2 – 2x – 8 = 0 \Rightarrow \Delta = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 $$

$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} \Rightarrow x_1 = -2,\ x_2 = 4 $$

2) Estudo do sinal:

Coeficiente de \( x^2 \) é positivo, então a parábola é voltada para cima.

  • \( f(x) < 0 \) entre as raízes

✅ Conclusão:

  • Solução: \( x \in (-2, 4) \)
b) 🔍 Ver solução passo a passo

1) Resolver a equação:

$$ 9x^2 – 8x – 1 = 0 \Rightarrow \Delta = (-8)^2 – 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 64 + 36 = 100 $$

$$ x = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{18} = \frac{8 \pm 10}{18} \Rightarrow x_1 = -\frac{1}{9},\ x_2 = 1 $$

2) Estudo do sinal:

Parábola voltada para cima.

  • \( f(x) \geq 0 \) fora das raízes

✅ Conclusão:

  • Solução: \( x \leq -\frac{1}{9} \) ou \( x \geq 1 \)
c) 🔍 Ver solução passo a passo

1) Calcular \( \Delta \):

$$ -3x^2 + 2x – 1 = 0 \Rightarrow \Delta = 2^2 – 4 \cdot (-3) \cdot (-1) = 4 – 12 = -8 $$

2) Como \( \Delta < 0 \), não há raízes reais.

Parábola voltada para baixo ⇒ sempre negativa.

Mas queremos \( f(x) > 0 \) ⇒ nunca ocorre.

✅ Conclusão:

  • Solução: Conjunto vazio \( \varnothing \)
d) 🔍 Ver solução passo a passo

1) Resolver a equação:

$$ -x^2 + 4x – 4 = 0 \Rightarrow \Delta = 4^2 – 4 \cdot (-1) \cdot (-4) = 16 – 16 = 0 $$

Raiz dupla: \( x = \frac{-4}{2 \cdot (-1)} = 2 \)

2) Sinal da função:

Parábola para baixo, toca o eixo em \( x = 2 \)

Função negativa para todo \( x \neq 2 \)

✅ Conclusão:

  • Solução: \( x \in \mathbb{R} \setminus \{2\} \)
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