Integração por substituição: como aplicar na prática?

A integração por substituição (também chamada de u-substituição ou troca de variável) é a ferramenta padrão para integrar funções compostas. Neste guia direto ao ponto, você vai entender a ideia, memorizar o procedimento e praticar com exemplos comentados. No fim, há uma lista de exercícios com solução em sistema abre/fecha para você treinar do seu jeito — mobile ou desktop.

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Ideia central da troca de variável na integração

Quando a integral contém uma função composta, escolhemos u = g(x). Como \(du = g'(x)\,dx\), a integral em \(x\) vira uma integral em \(u\):

\[ \int f\!\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx \;=\; \int f(u)\,du. \]

Dica 1. Ao ver algo do tipo \(f(g(x))\cdot g'(x)\), escolha \(u=g(x)\).

Dica 2. Substitua tudo: não misture \(x\) e \(u\) na mesma integral.

Passo a passo do método de substituição (u-substituição)

Escolha \(u\) para simplificar a expressão (geralmente o “dentro” da composta).
Calcule \(du\) (ou isole \(dx\)).
Substitua todas as ocorrências de \(x\) por \(u\).
Integre em \(u\) e, no final, volte para \(x\).

Exemplo curto.

\[ \int 2x\cos(x^2)\,dx \]

Escolha \(u=x^2\) ⇒ \(du=2x\,dx\).

\[ \int \cos(u)\,du = \sin(u)+C \]

\[ \sin(x^2)+C. \]

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Quando usar: reconhecimento de padrões equivalentes

\(g(x)\) aparece “por dentro” de uma potência, trigonométrica, log ou exponencial, e \(g'(x)\) (ou algo proporcional) aparece multiplicando.
Funções do tipo \(\int \! f(ax+b)\,dx\) pedem \(u=ax+b\).
Termos racionais simples com raiz/ponteiros internos também podem ser atacados com substituição.

Observação. Para produtos que não encaixam, considere Integração por Partes.

Exemplos resolvidos de u-substituição (passo a passo)

Exemplo 1 — Trigonométrico composto

Resolver: \(\displaystyle \int 3x^2\sin(x^3)\,dx\).

Escolha \(u=x^3\) ⇒ \(du=3x^2\,dx\).

\[ \int \sin(u)\,du = -\cos(u)+C \]

\[ -\cos(x^3)+C. \]

Exemplo 2 — Logaritmo de linear

Resolver: \(\displaystyle \int \frac{2}{1+2x}\,dx\).

Use \(u=1+2x\) ⇒ \(du=2\,dx\).

\[ \int \frac{1}{u}\,du = \ln|u|+C \]

\[ \ln|1+2x|+C. \]

Exemplo 3 — Exponencial com linear

Resolver: \(\displaystyle \int e^{5x-1}\,dx\).

Defina \(u=5x-1\) ⇒ \(du=5\,dx\) ⇒ \(dx=\frac{du}{5}\).

\[ \int e^{u}\,\frac{du}{5} = \frac{1}{5}e^{u}+C \]

\[ \frac{1}{5}e^{5x-1}+C. \]

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Erros comuns e boas práticas na troca de variável

Armadilha	Como corrigir
Misturar \(x\) e \(u\) na mesma integral.	Substitua tudo: reescreva \(dx\), limites (em integrais definidas) e a própria expressão.
Esquecer de voltar para \(x\).	Depois de integrar em \(u\), substitua \(u=g(x)\) novamente.
Escolha ruim de \(u\).	Prefira o “dentro” da composta: potência interna, argumento do trig/log/exp.

Lista de exercícios de integração por substituição

Exercício 1 — \(\int 2x\cos(x^2)\,dx\)

Enunciado. Resolva a integral \(\displaystyle \int 2x\cos(x^2)\,dx\).

1) Defina \(u=x^2\) ⇒ \(du=2x\,dx\).

2) Substitua: \(\displaystyle \int \cos(u)\,du\).

3) Integre: \(\displaystyle \sin(u)+C\).

4) Volte: \(\displaystyle \boxed{\sin(x^2)+C}\).

Exercício 2 — \(\int \frac{5x}{1+x^2}\,dx\)

Enunciado. Calcule \(\displaystyle \int \frac{5x}{1+x^2}\,dx\).

1) \(u=1+x^2\) ⇒ \(du=2x\,dx\) ⇒ \(\frac{5}{2}\int \frac{1}{u}\,du\).

2) \(\displaystyle \frac{5}{2}\ln|u|+C\).

3) \(\displaystyle \boxed{\frac{5}{2}\ln(1+x^2)+C}\).

Exercício 3 — \(\int \sqrt{3x+1}\,dx\)

Enunciado. Resolva \(\displaystyle \int \sqrt{3x+1}\,dx\).

1) \(u=3x+1\) ⇒ \(du=3\,dx\) ⇒ \(dx=\frac{du}{3}\).

2) \(\displaystyle \int u^{1/2}\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}u^{3/2}+C\).

3) \(\displaystyle \boxed{\frac{2}{9}(3x+1)^{3/2}+C}\).

Exercício 4 — \(\int \frac{\cos(2x)}{e^{\sin(2x)}}\,dx\)

Enunciado. Determine \(\displaystyle \int \frac{\cos(2x)}{e^{\sin(2x)}}\,dx\).

1) \(u=\sin(2x)\) ⇒ \(du=2\cos(2x)\,dx\) ⇒ \(dx=\frac{du}{2\cos(2x)}\).

2) Substitua: \(\displaystyle \int \frac{\cos(2x)}{e^{u}}\cdot \frac{du}{2\cos(2x)}=\frac{1}{2}\int e^{-u}\,du\).

3) \(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot(-e^{-u})+C\).

4) \(\displaystyle \boxed{-\frac{1}{2}e^{-\sin(2x)}+C}\).

Exercício 5 — \(\int \frac{1}{(x+4)^3}\,dx\)

Enunciado. Encontre \(\displaystyle \int \frac{1}{(x+4)^3}\,dx\).

1) \(u=x+4\) ⇒ \(du=dx\).

2) \(\displaystyle \int u^{-3}\,du=\frac{u^{-2}}{-2}+C\).

3) \(\displaystyle \boxed{-\frac{1}{2(x+4)^2}+C}\).

Materiais para continuar estudando e praticar

Conclusão: domine a substituição com treino diário

A chave da integração por substituição é reconhecer o padrão “função por dentro + derivada ao lado”. Escolha bem o \(u\), reescreva tudo em função de \(u\), integre e retorne para \(x\). Com os exemplos e exercícios acima — e revisões rápidas usando o E-book de Fórmulas e os Mapas Mentais — você ganha velocidade e confiança para provas, concursos e vestibulares.

FAQ — dúvidas frequentes sobre u-substituição

Como escolher o melhor \(u\) na integração por substituição?

Geralmente escolha o “dentro” da composta: argumento de potência, trigonométrica, logarítmica ou exponencial. Assim \(du\) aparece (ou surge proporcional) no integrando, permitindo reescrever tudo em \(u\) e simplificar a integral.

Posso misturar \(x\) e \(u\) na mesma integral durante o processo?

Não. Após definir \(u\), troque todas as ocorrências: expressão, \(dx\) e, em integrais definidas, os limites. Misturar variáveis leva a erros de conceito e de cálculo.

Quando usar substituição e quando usar integração por partes?

Use substituição quando houver função composta com a derivada “por perto”. Use partes quando houver produto de funções “sem composição clara” (por exemplo, \(x e^{x}\), \(x\sin x\), \(\ln x\cdot x^n\)).

Como ficam os limites na u-substituição de integrais definidas?

Depois de definir \(u=g(x)\), converta os limites: \(x=a\Rightarrow u=g(a)\) e \(x=b\Rightarrow u=g(b)\). Integre em \(u\) com novos limites e evite “voltar” para \(x\) — o resultado já sai correto.