Integrais Duplas e Cálculo de Volumes

1. Introdução

Nesta aula do curso de Cálculo 2 da Univesp, estudamos um tema elegante e fundamental: o cálculo de volumes debaixo de superfícies usando integrais definidas para funções de duas variáveis.

O objetivo é determinar o volume da região abaixo do gráfico de uma função \(f(x,y)\) (positiva), sobre uma região \(D\) no plano \(xy\).

2. Revisão: Área sob o gráfico de uma variável

Para uma função de uma variável, calculamos a área sob o gráfico usando a Integral Definida e o Teorema Fundamental do Cálculo:

\[ \int_a^b f(x)\, dx = F(b) – F(a), \] onde \(F'(x) = f(x)\).

Exemplo:

Calcular a área sob \(f(x) = \sin x\), no intervalo \([0, \pi]\).

A primitiva de \(\sin x\) é \(-\cos x\). Assim:

\[ \int_0^\pi \sin x \, dx = [-\cos x]_0^\pi = -\cos(\pi) + \cos(0) = 2. \]

3. Volume sob superfícies

Para funções de duas variáveis \(f(x,y)\), generalizamos o conceito de área para volume. O volume sob a superfície \(z = f(x,y)\), sobre uma região \(D\) do plano \(xy\), é obtido pela Integral Dupla:

\[ V = \iint_D f(x,y) \, dA. \]

3.1 Soma de Riemann

O processo de definição da integral dupla envolve dividir a região \(D\) em pequenos retângulos, calcular \(f(x,y)\) em pontos de cada retângulo, multiplicar pela área da base (\(\Delta A\)) e somar:

\[ \sum_{i,j} f(x_{ij}, y_{ij}) \, \Delta A. \]

Quando \(\Delta A \to 0\), obtemos o limite que define a integral dupla.

4. Cálculo via Integração Iterada

A integral dupla pode ser calculada como duas integrais simples consecutivas:

\[ \iint_D f(x,y) \, dA = \int_a^b \left( \int_c^d f(x,y) \, dy \right) dx. \]

Exemplo 2: Volume sob \(f(x,y) = x \cos y\)

Região retangular: \( 1 \le x \le 3 \), \( 0 \le y \le \frac{\pi}{2} \).

A integral dupla é:

\[ \int_1^3 \left( \int_0^{\pi/2} x \cos y \, dy \right) dx. \]

Calculando a integral interna: \(\int_0^{\pi/2} \cos y \, dy = \sin y \Big|_0^{\pi/2} = 1.\) Assim, temos:

\[ \int_1^3 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^3 = \frac{9 – 1}{2} = 4. \]

Portanto, o volume é \( \boxed{4} \).

5. Observações Importantes

Se \(f(x,y) \ge 0\), a integral dupla representa o volume.
Se \(f(x,y) < 0\), a integral fornece o valor negativo do volume entre o plano \(z=0\) e a superfície.
Para funções contínuas, a integral dupla sempre existe e é finita na região \(D\).

6. Conclusão

O cálculo de volumes com integrais duplas é uma extensão natural do cálculo de áreas. Na próxima aula, estudaremos a integração iterada e o Teorema de Fubini.

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