ITA 2023 — 2ª Fase — Questão 10 — Combinatória em Polígonos
Em um decágono convexo, de quantas formas podemos escolher duas diagonais que não se interceptam?
(Ou seja, as duas diagonais não se cruzam no interior e não compartilham extremidades.)
👀 Solução passo a passo
Ideia: Contar todos os pares de diagonais e subtrair os pares proibidos
(os que se cruzam no interior e os que compartilham um vértice).
1) Quantas diagonais tem um decágono?
\[ D=\frac{n(n-3)}{2}=\frac{10\cdot 7}{2}=35. \] Logo, o número de pares (não ordenados) de diagonais é \[ \binom{D}{2}=\binom{35}{2}=595. \]
2) Pares que se interceptam no interior:
Duas diagonais se cruzam interiormente se e somente se são as diagonais de um mesmo quadrilátero determinado por 4 vértices do decágono. Cada subconjunto de 4 vértices gera exatamente um par de diagonais cruzadas. \[ \#(\text{pares que se cruzam})=\binom{10}{4}=210. \]
3) Pares que compartilham um vértice:
Em cada vértice há 7 diagonais; escolhendo 2 delas, obtemos um par que se encontra no vértice. Há 10 vértices e cada par é contado apenas nesse vértice: \[ \#(\text{pares com vértice comum})=10\cdot\binom{7}{2}=10\cdot 21=210. \]
4) PARES VÁLIDOS (não se interceptam nem compartilham extremidades):
\[ 595-210-210=175. \]
1) Quantas diagonais tem um decágono?
\[ D=\frac{n(n-3)}{2}=\frac{10\cdot 7}{2}=35. \] Logo, o número de pares (não ordenados) de diagonais é \[ \binom{D}{2}=\binom{35}{2}=595. \]
2) Pares que se interceptam no interior:
Duas diagonais se cruzam interiormente se e somente se são as diagonais de um mesmo quadrilátero determinado por 4 vértices do decágono. Cada subconjunto de 4 vértices gera exatamente um par de diagonais cruzadas. \[ \#(\text{pares que se cruzam})=\binom{10}{4}=210. \]
3) Pares que compartilham um vértice:
Em cada vértice há 7 diagonais; escolhendo 2 delas, obtemos um par que se encontra no vértice. Há 10 vértices e cada par é contado apenas nesse vértice: \[ \#(\text{pares com vértice comum})=10\cdot\binom{7}{2}=10\cdot 21=210. \]
4) PARES VÁLIDOS (não se interceptam nem compartilham extremidades):
\[ 595-210-210=175. \]
Resposta: \( \boxed{175} \).
