ITA 2023 — 1ª Fase — Questão 42 — Geometria Plana
Seja \(ABC\) um triângulo retângulo tal que \(\widehat{BAC}=30^\circ\).
Considere \(D\) um ponto na hipotenusa \(AC\) e retas \(r\) e \(s\) passando por \(D\), paralelas aos lados \(AB\) e \(BC\), respectivamente.
Se \(E = r \cap BC\), \(F = s \cap AB\) e \(m(BC)=1\), o menor valor possível para \(m(EF)\) é:
a) \(\dfrac{\sqrt{2}}{5}\) b) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) c) \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) d) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) e) \(\sqrt{3}\).
a) \(\dfrac{\sqrt{2}}{5}\) b) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) c) \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) d) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) e) \(\sqrt{3}\).
👀 Solução passo a passo
1) Medidas de \(AC\) e \(AB\):
Em \( \triangle ABC \) retângulo com \(\angle A=30^\circ\) e \(BC\) oposto a \(30^\circ\): \[ \sin 30^\circ=\frac{BC}{AC}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{1}{AC}\Rightarrow AC=2. \] \[ \cos 30^\circ=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{\sqrt3}{2}=\frac{AB}{2}\Rightarrow AB=\sqrt3. \] 2) Relação entre \(EF\) e \(BD\):
As retas \(r\parallel AB\) e \(s\parallel BC\) formam o retângulo \(BEDF\). Logo, \[ EF = BD. \] Portanto, minimizar \(EF\) equivale a minimizar \(BD\). 3) Quando \(BD\) é mínimo?
A menor distância de \(B\) a uma reta ocorre na direção perpendicular. Assim, o menor \(BD\) acontece quando \(BD \perp AC\) (isto é, \(BD\) é a altura traçada de \(B\) à hipotenusa). 4) Relação métrica no triângulo retângulo:
Para a altura do vértice reto à hipotenusa, vale \[ BD\cdot AC = AB\cdot BC. \] Substituindo \(AC=2\), \(AB=\sqrt3\), \(BC=1\): \[ BD = \frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{\sqrt3\cdot 1}{2}=\frac{\sqrt3}{2}. \]
Em \( \triangle ABC \) retângulo com \(\angle A=30^\circ\) e \(BC\) oposto a \(30^\circ\): \[ \sin 30^\circ=\frac{BC}{AC}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{1}{AC}\Rightarrow AC=2. \] \[ \cos 30^\circ=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{\sqrt3}{2}=\frac{AB}{2}\Rightarrow AB=\sqrt3. \] 2) Relação entre \(EF\) e \(BD\):
As retas \(r\parallel AB\) e \(s\parallel BC\) formam o retângulo \(BEDF\). Logo, \[ EF = BD. \] Portanto, minimizar \(EF\) equivale a minimizar \(BD\). 3) Quando \(BD\) é mínimo?
A menor distância de \(B\) a uma reta ocorre na direção perpendicular. Assim, o menor \(BD\) acontece quando \(BD \perp AC\) (isto é, \(BD\) é a altura traçada de \(B\) à hipotenusa). 4) Relação métrica no triângulo retângulo:
Para a altura do vértice reto à hipotenusa, vale \[ BD\cdot AC = AB\cdot BC. \] Substituindo \(AC=2\), \(AB=\sqrt3\), \(BC=1\): \[ BD = \frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{\sqrt3\cdot 1}{2}=\frac{\sqrt3}{2}. \]
Resposta: \( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \) — Alternativa **D**
