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ITA 2023 — 1ª Fase — Questão 43 — Números Complexos
Dado \( z = 5 – 5i \in \mathbb{C} \), definimos
\( f(n) = \left| z^{(2n+1)} + \overline{z}^{(2n+1)} \right| \) para cada \( n \in \mathbb{N} \).
A soma de \( f(n) \) para \( n \) de \( 1 \) até \( 20 \) é:
a) \( 250(50^{21} – 1)/49 \) b) \( 500\sqrt{2}(50^{20} – 1)/49 \) c) \( 1000(50^{21} – 1)/49 \) d) \( 500(50^{20} – 1)/49 \) e) nenhuma das alternativas anteriores.
a) \( 250(50^{21} – 1)/49 \) b) \( 500\sqrt{2}(50^{20} – 1)/49 \) c) \( 1000(50^{21} – 1)/49 \) d) \( 500(50^{20} – 1)/49 \) e) nenhuma das alternativas anteriores.
👀 Solução passo a passo
1) Forma trigonométrica de \(z\):
\[ z = 5 – 5i = 5\sqrt{2}\left(\cos\frac{7\pi}{4} + isen\frac{7\pi}{4}\right). \] 2) Potências de \(z\) e \(\overline{z}\):
Usando De Moivre: \[ z^{2n+1} = (5\sqrt{2})^{2n+1} \left[ \cos\left((2n+1)\frac{7\pi}{4}\right) + isen\left((2n+1)\frac{7\pi}{4}\right) \right], \] \[ \overline{z}^{\,2n+1} = (5\sqrt{2})^{2n+1} \left[ \cos\left(-(2n+1)\frac{7\pi}{4}\right) + isen\left(-(2n+1)\frac{7\pi}{4}\right) \right]. \] Somando: \[ z^{2n+1} + \overline{z}^{\,2n+1} = (5\sqrt{2})^{2n+1} \cdot 2 \cos\left((2n+1)\frac{7\pi}{4}\right). \] 3) Módulo da soma:
Como \(f(n) = \left| z^{2n+1} + \overline{z}^{2n+1} \right|\): \[ f(n) = \left|(5\sqrt{2})^{2n+1} \cdot 2 \cos\left((2n+1)\frac{7\pi}{4}\right)\right|. \] Sabendo que \(\cos\left((2n+1)\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}(-1)^n\), obtemos: \[ f(n) = (5\sqrt{2})^{2n+1} \cdot \sqrt{2} = 10 \cdot 25^n \cdot 2^n = 10 \cdot 50^n. \] 4) Soma para \(n=1\) até \(20\):
\[ S = 10(50^1 + 50^2 + \dots + 50^{20}). \] Esta é uma P.G. de razão \(50\) e \(19\) termos além do primeiro: \[ S = 10 \cdot \frac{50(50^{20} – 1)}{49} = \frac{500(50^{20} – 1)}{49}. \]
\[ z = 5 – 5i = 5\sqrt{2}\left(\cos\frac{7\pi}{4} + isen\frac{7\pi}{4}\right). \] 2) Potências de \(z\) e \(\overline{z}\):
Usando De Moivre: \[ z^{2n+1} = (5\sqrt{2})^{2n+1} \left[ \cos\left((2n+1)\frac{7\pi}{4}\right) + isen\left((2n+1)\frac{7\pi}{4}\right) \right], \] \[ \overline{z}^{\,2n+1} = (5\sqrt{2})^{2n+1} \left[ \cos\left(-(2n+1)\frac{7\pi}{4}\right) + isen\left(-(2n+1)\frac{7\pi}{4}\right) \right]. \] Somando: \[ z^{2n+1} + \overline{z}^{\,2n+1} = (5\sqrt{2})^{2n+1} \cdot 2 \cos\left((2n+1)\frac{7\pi}{4}\right). \] 3) Módulo da soma:
Como \(f(n) = \left| z^{2n+1} + \overline{z}^{2n+1} \right|\): \[ f(n) = \left|(5\sqrt{2})^{2n+1} \cdot 2 \cos\left((2n+1)\frac{7\pi}{4}\right)\right|. \] Sabendo que \(\cos\left((2n+1)\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}(-1)^n\), obtemos: \[ f(n) = (5\sqrt{2})^{2n+1} \cdot \sqrt{2} = 10 \cdot 25^n \cdot 2^n = 10 \cdot 50^n. \] 4) Soma para \(n=1\) até \(20\):
\[ S = 10(50^1 + 50^2 + \dots + 50^{20}). \] Esta é uma P.G. de razão \(50\) e \(19\) termos além do primeiro: \[ S = 10 \cdot \frac{50(50^{20} – 1)}{49} = \frac{500(50^{20} – 1)}{49}. \]
Resposta: \( \dfrac{500(50^{20} – 1)}{49} \) — Alternativa **D**
