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ITA 2023 — 1ª Fase — Questão 48 — Análise Combinatória e Polinômios
Na expansão de \([\,1 + x^2 – x^3 + x^4\,]^{10}\), a soma de todos os coeficientes das potências múltiplas de 3 é:
a) 114
b) 228
c) 342
d) 456
e) 570
a) 114
b) 228
c) 342
d) 456
e) 570
👀 Solução passo a passo
1) Definição do polinômio:
Seja \(P(x) = (x^4 – x^3 + x^2 + 1)^{10}\). O objetivo é somar os coeficientes cujos expoentes são múltiplos de 3.
2) Uso das raízes da unidade (cúbicas):
A soma dos coeficientes múltiplos de 3 pode ser obtida por: \[ S = \frac{P(1) + P(k) + P(k^2)}{3}, \] onde \(k\) é raiz cúbica primitiva da unidade: \(k = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\), satisfazendo \(1 + k + k^2 = 0\).
3) Cálculo de \(P(1)\): \[ P(1) = (1^4 – 1^3 + 1^2 + 1)^{10} = (1 – 1 + 1 + 1)^{10} = (2)^{10} = 1024. \] 4) Cálculo de \(P(k)\): Usando \(k^3 = 1\), \(k^4 = k\), temos: \[ P(k) = (k – 1 + k^2 + 1)^{10} = (k + k^2)^{10} = (-1)^{10} = 1. \] 5) Cálculo de \(P(k^2)\): Analogamente: \[ P(k^2) = (k^2 – 1 + k + 1)^{10} = (k + k^2)^{10} = (-1)^{10} = 1. \]
6) Soma final: \[ S = \frac{1024 + 1 + 1}{3} = \frac{1026}{3} = 342. \]
Seja \(P(x) = (x^4 – x^3 + x^2 + 1)^{10}\). O objetivo é somar os coeficientes cujos expoentes são múltiplos de 3.
2) Uso das raízes da unidade (cúbicas):
A soma dos coeficientes múltiplos de 3 pode ser obtida por: \[ S = \frac{P(1) + P(k) + P(k^2)}{3}, \] onde \(k\) é raiz cúbica primitiva da unidade: \(k = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\), satisfazendo \(1 + k + k^2 = 0\).
3) Cálculo de \(P(1)\): \[ P(1) = (1^4 – 1^3 + 1^2 + 1)^{10} = (1 – 1 + 1 + 1)^{10} = (2)^{10} = 1024. \] 4) Cálculo de \(P(k)\): Usando \(k^3 = 1\), \(k^4 = k\), temos: \[ P(k) = (k – 1 + k^2 + 1)^{10} = (k + k^2)^{10} = (-1)^{10} = 1. \] 5) Cálculo de \(P(k^2)\): Analogamente: \[ P(k^2) = (k^2 – 1 + k + 1)^{10} = (k + k^2)^{10} = (-1)^{10} = 1. \]
6) Soma final: \[ S = \frac{1024 + 1 + 1}{3} = \frac{1026}{3} = 342. \]
Conclusão: a soma é \( \mathbf{342} \).
Alternativa **C**.
