ITA 2023 — 2ª Fase — Questão 08 — Geometria Espacial
Um cilindro equilátero está apoiado sobre uma de suas bases e parcialmente preenchido com água.
Quando uma esfera é colocada em seu interior, de modo a tocar o fundo, o nível da água atinge a
altura do cilindro. Sabendo que o raio da esfera é igual ao raio da base do cilindro e que o volume
de água é \( \frac{2000\pi}{3} \,\text{cm}^3 \), determine:
• a área da superfície lateral do cilindro;
• o volume da esfera.
• a área da superfície lateral do cilindro;
• o volume da esfera.
👀 Solução passo a passo
1) Dados e equação de volumes:
Cilindro equilátero \(\Rightarrow h = 2r\). A condição de volumes é: \[ V_{\text{esfera}} + V_{\text{água}} = V_{\text{cilindro}} \] \[ \frac{4}{3}\pi r^3 + \frac{2000\pi}{3} = \pi r^2 (2r) \] Cancelando \(\pi\) e multiplicando por \(3\): \[ 4r^3 + 2000 = 6r^3 \quad\Rightarrow\quad 2000 = 2r^3 \quad\Rightarrow\quad r^3 = 1000 \quad\Rightarrow\quad r=10\ \text{cm}. \] 2) Área lateral do cilindro:
\[ A_{\text{lat}} = 2\pi r h = 2\pi r (2r) = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot 100 = 400\pi\ \text{cm}^2. \] 3) Volume da esfera:
\[ V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (1000) = \frac{4000\pi}{3}\ \text{cm}^3. \]
Cilindro equilátero \(\Rightarrow h = 2r\). A condição de volumes é: \[ V_{\text{esfera}} + V_{\text{água}} = V_{\text{cilindro}} \] \[ \frac{4}{3}\pi r^3 + \frac{2000\pi}{3} = \pi r^2 (2r) \] Cancelando \(\pi\) e multiplicando por \(3\): \[ 4r^3 + 2000 = 6r^3 \quad\Rightarrow\quad 2000 = 2r^3 \quad\Rightarrow\quad r^3 = 1000 \quad\Rightarrow\quad r=10\ \text{cm}. \] 2) Área lateral do cilindro:
\[ A_{\text{lat}} = 2\pi r h = 2\pi r (2r) = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot 100 = 400\pi\ \text{cm}^2. \] 3) Volume da esfera:
\[ V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (1000) = \frac{4000\pi}{3}\ \text{cm}^3. \]
Resposta: \( A_{\text{lat}} = 400\pi\ \text{cm}^2 \quad\) e \(\quad V_{\text{esfera}} = \frac{4000\pi}{3}\ \text{cm}^3 \).
