ITA 2023 — 2ª Fase — Questão 09 — Trigonometria e Lei dos Senos/Cossenos
Um triângulo tem perímetro \(20\) e seus ângulos internos \(\alpha\), \(\beta\) e \(\gamma\) satisfazem a igualdade
\(\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma = 2\).
Sabendo que um dos lados desse triângulo mede \(8\), determine a medida dos outros dois lados.
👀 Solução passo a passo
1) Aplicando a Lei dos Senos:
Sejam os lados opostos a \(\alpha, \beta, \gamma\) respectivamente \(8\), \(12-x\) e \(x\). Pela lei dos senos: \[ \frac{8}{\sin\alpha} = \frac{12-x}{\sin\beta} = \frac{x}{\sin\gamma} = \frac{8 + (12-x) + x}{\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma} \] Como \(\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma = 2\) e o perímetro é 20: \[ \frac{8}{\sin\alpha} = \frac{20}{2} = 10 \quad\Rightarrow\quad \sin\alpha = \frac{4}{5}. \] 2) Determinando \(\cos\alpha\):
\[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \quad\Rightarrow\quad \cos^2\alpha = 1 – \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}. \] Logo, \(\cos\alpha = \pm \frac{3}{5}\). 3) Aplicando a Lei dos Cossenos para \(\cos\alpha = \frac{3}{5}\):
\[ 8^2 = x^2 + (12-x)^2 – 2x(12-x)\cdot\frac{3}{5} \] \[ 64 = x^2 + 144 – 24x + x^2 – \frac{72x}{5} + \frac{6x^2}{5}. \] Multiplicando por 5: \[ 320 = 5x^2 + 720 – 120x + 6x^2 – 72x \quad\Rightarrow\quad 11x^2 – 192x + 400 = 0. \] Resolvendo: \[ x = \frac{192 \pm \sqrt{192^2 – 4\cdot 11 \cdot 400}}{2\cdot 11} = \frac{192 \pm 2\sqrt{1216}}{22} = 6 \pm \sqrt{11}. \] 4) Caso \(\cos\alpha = -\frac{3}{5}\): Não há solução válida para as dimensões do triângulo.
Sejam os lados opostos a \(\alpha, \beta, \gamma\) respectivamente \(8\), \(12-x\) e \(x\). Pela lei dos senos: \[ \frac{8}{\sin\alpha} = \frac{12-x}{\sin\beta} = \frac{x}{\sin\gamma} = \frac{8 + (12-x) + x}{\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma} \] Como \(\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma = 2\) e o perímetro é 20: \[ \frac{8}{\sin\alpha} = \frac{20}{2} = 10 \quad\Rightarrow\quad \sin\alpha = \frac{4}{5}. \] 2) Determinando \(\cos\alpha\):
\[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \quad\Rightarrow\quad \cos^2\alpha = 1 – \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}. \] Logo, \(\cos\alpha = \pm \frac{3}{5}\). 3) Aplicando a Lei dos Cossenos para \(\cos\alpha = \frac{3}{5}\):
\[ 8^2 = x^2 + (12-x)^2 – 2x(12-x)\cdot\frac{3}{5} \] \[ 64 = x^2 + 144 – 24x + x^2 – \frac{72x}{5} + \frac{6x^2}{5}. \] Multiplicando por 5: \[ 320 = 5x^2 + 720 – 120x + 6x^2 – 72x \quad\Rightarrow\quad 11x^2 – 192x + 400 = 0. \] Resolvendo: \[ x = \frac{192 \pm \sqrt{192^2 – 4\cdot 11 \cdot 400}}{2\cdot 11} = \frac{192 \pm 2\sqrt{1216}}{22} = 6 \pm \sqrt{11}. \] 4) Caso \(\cos\alpha = -\frac{3}{5}\): Não há solução válida para as dimensões do triângulo.
Resposta: \(x = 6+\sqrt{11}\) e \(12-x = 6-\sqrt{11}\).
