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ITA 2024 — 1ª Fase — Questão 42 — Progressão Geométrica e Polinômios
O valor de \( k \in \mathbb{R} \) de modo que as raízes do polinômio
\[
p(x) = x^3 + 3x^2 – 6x + k
\]
estejam em progressão geométrica é:
a) \(-18\) b) \(-16\) c) \(-8\) d) \(-2\) e) \(-1\)
a) \(-18\) b) \(-16\) c) \(-8\) d) \(-2\) e) \(-1\)
👀 Solução Passo a Passo
1) Representação das raízes:
Sejam as raízes em P.G.: \(\frac{a}{q}, a, a q\).
2) Aplicando a soma das raízes:
Pela relação de Viète: \[ \frac{a}{q} + a + a q = -3 \] que pode ser escrita como: \[ a \left( \frac{1}{q} + 1 + q \right) = -3 \quad \text{(I)} \]
3) Aplicando a soma dos produtos 2 a 2:
\[ \frac{a^2}{q} + a^2 + a^2 q = -6 \] ou seja: \[ a^2 \left( \frac{1}{q} + 1 + q \right) = -6 \quad \text{(II)} \]
4) Aplicando o produto das raízes:
\[ \frac{a}{q} \cdot a \cdot a q = a^3 = -k \quad \text{(III)} \]
5) Dividindo (II) por (I):
\[ \frac{a^2}{a} = a = \frac{-6}{-3} = 2 \]
6) Determinando \(k\):
De (III): \[ 2^3 = -k \quad \Rightarrow \quad k = -8. \]
Sejam as raízes em P.G.: \(\frac{a}{q}, a, a q\).
2) Aplicando a soma das raízes:
Pela relação de Viète: \[ \frac{a}{q} + a + a q = -3 \] que pode ser escrita como: \[ a \left( \frac{1}{q} + 1 + q \right) = -3 \quad \text{(I)} \]
3) Aplicando a soma dos produtos 2 a 2:
\[ \frac{a^2}{q} + a^2 + a^2 q = -6 \] ou seja: \[ a^2 \left( \frac{1}{q} + 1 + q \right) = -6 \quad \text{(II)} \]
4) Aplicando o produto das raízes:
\[ \frac{a}{q} \cdot a \cdot a q = a^3 = -k \quad \text{(III)} \]
5) Dividindo (II) por (I):
\[ \frac{a^2}{a} = a = \frac{-6}{-3} = 2 \]
6) Determinando \(k\):
De (III): \[ 2^3 = -k \quad \Rightarrow \quad k = -8. \]
Resposta: c) \(-8\)
