Questão 01 — ITA 2025 — 1ª Fase | Conteúdo: Números Complexos • Plano de Argand-Gauss • Área (Determinante)
Seja \(z = a + 2i\) um número complexo, em que \(a \in \mathbb{R}\) é positivo. O valor de \(a\) para que as representações de \(1,\ z,\ z^2\) no plano de Argand–Gauss formem um triângulo de área \(200\) é:
👀 Solução passo a passo
1) Afixos dos pontos $$z = a + 2i \quad\Rightarrow\quad z^2 = (a+2i)^2 = a^2 – 4 + 4ai$$ $$1 \equiv (1,0), \quad z \equiv (a,2), \quad z^2 \equiv (a^2-4,\;4a)$$2) Área do triângulo via determinante $$\text{Área}=\frac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ a & 2 & 1\\ a^2-4 & 4a & 1 \end{pmatrix}\right|$$ $$\det = 2a^2 – 4a + 10 \quad\Rightarrow\quad \text{Área}=\dfrac{|2a^2-4a+10|}{2}$$3) Impor a área \(200\) $$\dfrac{|2a^2-4a+10|}{2} = 200$$ $$|2a^2-4a+10| = 400$$4) Resolver as possibilidades $$\text{(i)}\;\; 2a^2-4a+10 = 400 \;\Rightarrow\; 2a^2-4a-390=0$$ $$a^2 – 2a – 195 = 0 \;\Rightarrow\; \Delta = 4 + 780 = 784 = 28^2$$ $$a = \dfrac{2 \pm 28}{2} \;\Rightarrow\; a=15 \;\text{ou}\; a=-13$$$$\text{(ii)}\;\; 2a^2-4a+10 = -400 \;\Rightarrow\; 2a^2-4a+410=0$$ $$\Delta = (-4)^2 – 4\cdot 2 \cdot 410 = 16 – 3280 = -3264 < 0 \;\Rightarrow\; \text{sem raízes reais}$$5) Conclusão $$a>0 \;\Rightarrow\; \boxed{a=15}$$Gabarito: alternativa b).
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