Questão 03 — ITA 2025 — 1ª Fase
Conteúdo: Binômio de Newton • Termo independente
Enunciado
O termo independente da expansão de
\[
\left( x + \frac{1}{x} \right)^6 \cdot \left( x – \frac{2}{x} \right)^5
\]
é:
a) \(-18\)
b) \(-12\)
c) \(0\)
d) \(12\)
e) \(18\)
👀 Solução passo a passo
1) Termo geral do primeiro fator:
O termo geral de \(\left( x + \frac{1}{x} \right)^6\) é: \[ T_k = \binom{6}{k} x^{6-k} \cdot x^{-k} = \binom{6}{k} x^{6-2k}. \]
O termo geral de \(\left( x + \frac{1}{x} \right)^6\) é: \[ T_k = \binom{6}{k} x^{6-k} \cdot x^{-k} = \binom{6}{k} x^{6-2k}. \]
2) Termo geral do segundo fator:
O termo geral de \(\left( x – \frac{2}{x} \right)^5\) é: \[ T_p = \binom{5}{p} x^{5-p} \cdot \left( -\frac{2}{x} \right)^p = \binom{5}{p} (-2)^p x^{5-2p}. \]
O termo geral de \(\left( x – \frac{2}{x} \right)^5\) é: \[ T_p = \binom{5}{p} x^{5-p} \cdot \left( -\frac{2}{x} \right)^p = \binom{5}{p} (-2)^p x^{5-2p}. \]
3) Condição para termo independente:
O produto terá potência zero de \(x\) quando: \[ (6 – 2k) + (5 – 2p) = 0 \ \Rightarrow\ 11 – 2k – 2p = 0. \] Isso implica: \[ k + p = 5,5 \] o que não é possível para \(k,p \in \mathbb{N}\). Logo, **não existe termo independente**.
O produto terá potência zero de \(x\) quando: \[ (6 – 2k) + (5 – 2p) = 0 \ \Rightarrow\ 11 – 2k – 2p = 0. \] Isso implica: \[ k + p = 5,5 \] o que não é possível para \(k,p \in \mathbb{N}\). Logo, **não existe termo independente**.
4) Conclusão:
O termo independente é \(0\). Alternativa correta: **c)**.
O termo independente é \(0\). Alternativa correta: **c)**.
