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Questão 03 — ITA 2025 — 1ª Fase | Conteúdo: Binômio de Newton • Termo independente
O termo independente da expansão
\[ \left( x + \frac{1}{x} \right)^6 \cdot \left( x – \frac{2}{x} \right)^5 \]é:
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👀 Solução passo a passo
1) Termo geral do primeiro fator
Para \(\left( x + \frac{1}{x} \right)^6\), o termo geral é
$$T_k=\binom{6}{k}x^{6-k}\cdot x^{-k}=\binom{6}{k}x^{6-2k}.$$2) Termo geral do segundo fator
Para \(\left( x – \frac{2}{x} \right)^5\), o termo geral é
$$T_p=\binom{5}{p}x^{5-p}\cdot\left(-\frac{2}{x}\right)^p=\binom{5}{p}(-2)^px^{5-2p}.$$3) Condição para termo independente
No produto, o expoente de \(x\) será \((6-2k)+(5-2p)=11-2(k+p)\). Para ser independente:
$$11-2(k+p)=0 \;\Rightarrow\; k+p=\frac{11}{2}=5{,}5.$$Como \(k,p\in\mathbb{N}\), isso é impossível. Logo, não existe termo independente.
4) Conclusão
Gabarito: c) — o termo independente é \(0\).
