Juros Compostos — Fórmulas, Exemplos e Exercícios (com Soluções em Toggle)
Layout empilhado (todos os blocos um abaixo do outro), soluções em sistema abre/fecha e links internos do Matemática Hoje.
O que são Juros Compostos?
Em juros compostos, os juros de cada período são incorporados ao capital para o cálculo do período seguinte — efeito de juros sobre juros. O crescimento torna-se exponencial, essencial para entender investimentos e o custo real de empréstimos.
- Juros simples: juros sempre sobre o capital inicial (crescimento linear).
- Juros compostos: juros sobre o capital atualizado (crescimento exponencial).
Fórmulas Fundamentais
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| \(M\) | Montante (valor final) |
| \(C\) | Capital inicial |
| \(i\) | Taxa de juros por período (decimal) |
| \(n\) | Número de períodos de capitalização |
Fórmulas Inversas
Capitalizações Múltiplas e Contínua
📘 Tenha as fórmulas sempre à mão
Baixe o E-book de Fórmulas de Matemática e complemente seus estudos com nossos Mapas Mentais prontos para revisão rápida.
Conteúdos pensados para ENEM e concursos. Estude com estratégia e ganhe tempo!
Exemplos Resolvidos
Exemplo 1 — Montante mensal
Uma aplicação de R$ 1.000,00 rende 5% a.m. por 3 meses. Calcule o montante.
👀 Ver solução
\( M = 1000\,(1+0{,}05)^3 \)
\( = 1000\,(1{,}05)^3 \)
\( = 1000 \times 1{,}157625 \)
\( = 1157{,}625 \ \Rightarrow\ \mathbf{R\$\,1.157,63} \) (arred.)
Exemplo 2 — Descobrindo a taxa
De R$ 2.000,00 para R$ 2.420,00 em 2 anos (capitalização anual). Qual a taxa \(i\)?
👀 Ver solução
\( i = \left(\dfrac{2420}{2000}\right)^{1/2} – 1 \)
\( = (1{,}21)^{0{,}5} – 1 \)
\( = 1{,}10 – 1 = \mathbf{0{,}10} = \mathbf{10\%\,a.a.} \)
Exemplo 3 — Nominal anual com capitalização mensal
Aplicação de R$ 5.000,00 a 12% a.a. nominal, capitalização mensal, por 2 anos.
👀 Ver solução
\( M = 5000\,(1+0{,}01)^{24} \approx 5000 \times 1{,}26824 = \mathbf{R\$\,6.341,20} \)
Exercícios Propostos (com Soluções)
Parte A — Múltipla Escolha
Q1
Um capital de R$ 1.500,00 é aplicado a 2% a.m. por 5 meses. O montante é, aproximadamente:
- A) R$ 1.650,00
- B) R$ 1.657,61
- C) R$ 1.630,00
- D) R$ 1.700,00
👀 Ver solução da Q1
\( = 1500 \times 1{,}10408 \)
\( = \mathbf{R\$\,1.656,12} \) (aprox.)
Alternativa mais próxima: B) R$ 1.657,61.
Q2
R$ 6.000,00 geram R$ 7.452,00 em 2 anos (capitalização anual). A taxa anual é:
- A) 10%
- B) 12%
- C) 8%
- D) 15%
👀 Ver solução da Q2
\( \approx 1{,}1145 – 1 = 0{,}1145 = 11{,}45\% \)
Alternativa mais próxima: B) 12%.
Q3
A expressão correta para capitalização \(m\) vezes por período é:
- A) \(M=C(1+i)^n\)
- B) \(M=C\left(1+\dfrac{i}{m}\right)^{nm}\)
- C) \(M=C(1+im)^n\)
- D) \(M=C\,e^{in}\)
👀 Ver solução da Q3
Observação: a alternativa D descreve capitalização contínua, não “\(m\) vezes” no período.
Parte B — Dissertativas
Exercício 4
Calcule o montante de R$ 3.000,00 a 4% a.m. durante 6 meses.
👀 Ver solução do Exercício 4
\( = 3000 \times 1{,}265319 \)
\( = \mathbf{R\$\,3.795,96} \) (aprox.)
Exercício 5
Um empréstimo de R$ 8.000,00 a 15% a.a. por 3 anos (capitalização anual). Determine o valor a pagar.
👀 Ver solução do Exercício 5
\( = 8000 \times 1{,}520875 \)
\( = \mathbf{R\$\,12.167,00} \) (aprox.)
Exercício 6
O capital cresce de R$ 10.000,00 para R$ 16.000,00 em 4 anos. Encontre a taxa anual \(i\) (capitalização anual).
👀 Ver solução do Exercício 6
\( = (1{,}6)^{0{,}25} – 1 \)
\( = 1{,}1256 – 1 = \mathbf{0{,}1256} = \mathbf{12{,}56\%\,a.a.} \)
Estude Mais e Pratique (Links Internos)
- ENEM Matemática — tópicos, listas e revisões focadas.
- 10 E-books de Matemática — teoria + exercícios.
- Banco de Questões — pratique com questões por tema/banca.
- E-book Fórmulas Matemática — referência rápida para provas.
- Mapas Mentais de Matemática — memorização acelerada.
FAQ Rápido
Qual a diferença prática entre juros simples e compostos?
No simples, os juros incidem sempre sobre o capital inicial (crescimento linear); no composto, incidem sobre o capital atualizado (crescimento exponencial).
Quando usar \( M=C\left(1+\dfrac{i}{m}\right)^{mn} \)?
Quando a taxa informada é por período-base (ex.: ao ano) e a capitalização ocorre \(m\) vezes dentro desse período (mensal, trimestral etc.).
Capitalização contínua cai em provas?
Sim, principalmente em cursos superiores/questões teóricas: \( M=C\,e^{in} \). Em concursos de nível médio é menos comum, mas conhecer ajuda.
Conclusão
Domine a fórmula \(M=C(1+i)^n\), pratique as inversões (para \(C\), \(i\), \(n\)) e treine com muitas questões. Para acelerar revisões, use os Mapas Mentais e o E-book de Fórmulas.
