Quando a substituição direta gera uma indeterminação do tipo:
\[ \frac{0}{0} \]
uma das técnicas mais utilizadas é colocar fatores em evidência para simplificar a expressão.
Esse método transforma expressões aparentemente difíceis em cálculos simples.
Quando usar colocar em evidência?
Essa técnica é usada quando:
- A substituição direta resulta em: \[ \frac{0}{0} \]
- Existe fator comum entre os termos.
- A expressão pode ser fatorada.
Passo a passo
1. Faça a substituição direta.
2. Verifique se apareceu uma indeterminação.
3. Coloque o fator comum em evidência.
4. Simplifique a expressão.
5. Calcule o limite da expressão simplificada.
Exemplo resolvido
Calcule:
\[ \lim_{x \to 2}\frac{x^2-4}{x-2} \]
Substituindo diretamente:
\[ \frac{2^2-4}{2-2} = \frac{0}{0} \]
Apareceu uma indeterminação.
Agora vamos fatorar:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Substituindo:
\[ \lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} \]
Simplificando:
\[ \lim_{x \to 2}(x+2) \]
Agora basta substituir:
\[ 2+2=4 \]
Resposta:
\[ \boxed{4} \]
Fatorações mais utilizadas
Algumas fatorações importantes:
\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \]
\[ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \]
\[ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \]
Dica importante
Depois de simplificar a expressão, o limite normalmente pode ser resolvido usando substituição direta.
Exercícios Resolvidos
Calcule:
\[ \lim_{x \to 3}\frac{x^2-9}{x-3} \]
Fatorando:
\[ x^2-9=(x-3)(x+3) \]
Simplificando:
\[ \lim_{x \to 3}(x+3) \]
Substituindo:
\[ 3+3=6 \]
Resposta:
\[ \boxed{6} \]
Calcule:
\[ \lim_{x \to 1}\frac{x^2+x-2}{x-1} \]
Fatorando:
\[ x^2+x-2=(x-1)(x+2) \]
Simplificando:
\[ \lim_{x \to 1}(x+2) \]
Substituindo:
\[ 1+2=3 \]
Resposta:
\[ \boxed{3} \]
Ao calcular:
\[ \lim_{x \to 5}\frac{x^2-25}{x-5} \]
a substituição direta gera:
\[ \frac{0}{0} \]
Isso indica que devemos fatorar a expressão antes de calcular o limite.
