Limite de Função Composta
O limite de função composta aparece quando temos uma função aplicada dentro de outra função.
Nesse tipo de problema, precisamos calcular primeiro o limite da função interna e depois aplicar esse resultado na função externa.
O que é uma função composta?
Uma função composta ocorre quando:
\[ f(g(x)) \]
Ou seja, uma função está dentro da outra.
Como calcular o limite?
A ideia principal é:
\[ \lim_{x \to a}f(g(x)) \]
Primeiro calculamos:
\[ L=\lim_{x \to a}g(x) \]
Depois calculamos:
\[ \lim_{u \to L}f(u) \]
Passo a passo
1. Resolva o limite da função interna.
2. Encontre o valor de \(L\).
3. Substitua esse valor na função externa.
4. Calcule o resultado final.
Exemplo resolvido
Considere:
\[ f(x)=\sqrt{x+1} \]
e:
\[ g(x)=x^2-1 \]
Calcule:
\[ \lim_{x \to 2}f(g(x)) \]
Primeiro:
\[ L=\lim_{x \to 2}(x^2-1) \]
Substituindo:
\[ 2^2-1=3 \]
Agora calculamos:
\[ f(3)=\sqrt{3+1} \]
\[ =\sqrt{4} \]
\[ =2 \]
Resposta:
\[ \boxed{2} \]
Interpretação intuitiva
Nos limites de função composta, sempre resolvemos “de dentro para fora”.
Primeiro entendemos para onde a função interna está indo.
Depois avaliamos o comportamento da função externa nesse valor.
Quando essa técnica funciona?
Esse método funciona principalmente quando:
- A função externa é contínua.
- O limite da função interna existe.
- Não aparecem indeterminações complicadas.
Exercícios Resolvidos
Calcule:
\[ \lim_{x \to 1}\sqrt{x^2+3} \]
Primeiro:
\[ 1^2+3=4 \]
Agora:
\[ \sqrt{4}=2 \]
Resposta:
\[ \boxed{2} \]
Calcule:
\[ \lim_{x \to 2}\frac{1}{x^2+1} \]
Primeiro:
\[ 2^2+1=5 \]
Então:
\[ \frac{1}{5} \]
Resposta:
\[ \boxed{\frac{1}{5}} \]
Na expressão:
\[ f(g(x)) \]
a função:
\[ g(x) \]
é chamada de função interna.
Já:
\[ f(x) \]
é a função externa.
