Progressão Aritmética (PA) — Lista de Exercícios com Enunciado e Solução
Pratique PA com questões clássicas de provas e vestibulares. Cada seção traz o enunciado completo, alternativas e a solução passo a passo (clique para abrir).
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Tenha sempre à mão termo geral $a_n=a_1+(n-1)r$ e soma $S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a_1+(n-1)r\big)$ para acelerar as resoluções.
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Revisão visual de PA: $a_1$, $r$, $a_n$, $S_n$, termo médio e propriedades.
Acessar Mapas MentaisQ1 — Termos consecutivos: encontre $x$
Se $x,\; x+5,\; -6$ são termos consecutivos de uma progressão aritmética (PA), então o valor de $x$ é:
- $-16$
- $-14$
- $-18$
- $-12$
- $-20$
Ver solução
Consecutivos $\Rightarrow$ diferenças iguais:
$\,(x+5)-x=5\quad$ e $\quad-6-(x+5)=-x-11$.
Iguale: $5=-x-11 \;\Rightarrow\; x=-16$.
Resposta: A) $-16$.
Q2 — Soma de 13 termos (Unicamp 2015)
Se $(a_1,a_2,\ldots,a_{13})$ é uma PA cuja soma dos termos é $78$, então $a_7$ é igual a:
- $6$
- $7$
- $8$
- $9$
Ver solução
Para $n$ ímpar, o termo central é a média dos termos: $a_7=\dfrac{S_{13}}{13}=\dfrac{78}{13}=6$.
Outra forma: $S_{13}=\dfrac{13}{2}(a_1+a_{13})$ e $a_7=\dfrac{a_1+a_{13}}{2} \Rightarrow a_7=\dfrac{S_{13}}{13}$.
Resposta: A) $6$.
Q3 — Quantos pares entre 18 e 272? (Unisc 2015)
A quantidade de números pares existentes entre $18$ e $272$ (exclusivos) é:
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
Ver solução
Pares estritamente entre: $20,22,\ldots,270$ (PA de razão $2$).
$n=\dfrac{270-20}{2}+1=126$.
Resposta: C) $126$.
Obs.: se fosse inclusive $18$ e $272$, teríamos $128$.
Q4 — Ciclista: $S_5=310$ e $r=10$ (Unifor 2014)
Um ciclista pedala $310$ km em $5$ dias; a cada dia percorre $10$ km a mais que no anterior. A distância do primeiro dia é:
- $36$
- $40$
- $42$
- $44$
- $46$
Ver solução
$S_5=\dfrac{5}{2}[2a_1+(5-1)\cdot10]=310 \Rightarrow 5(a_1+20)=310$.
$a_1+20=62 \Rightarrow a_1=42$ km.
Resposta: C) $42$.
Q5 — Soma dos pares de três algarismos (PUCRJ 2014)
A soma de todos os números naturais pares de três algarismos é:
- 244888
- 100000
- 247050
- 204040
- 204000
Ver solução
PA: $100,102,\ldots,998$ ⇒ $a_1=100$, $a_n=998$, $r=2$.
$n=\dfrac{998-100}{2}+1=450$.
$S=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)=\dfrac{450}{2}\cdot1098=247{.}050$.
Resposta: C) $247050$.
Q6 — Dado $S_4=42$ e $r=5$, encontre $a_1$ (PUCRJ 2013)
Se a soma dos quatro primeiros termos de uma PA é $42$ e a razão é $5$, então o primeiro termo é:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
Ver solução
$S_4=\dfrac{4}{2}[2a_1+3\cdot5]=2(2a_1+15)=4a_1+30=42$.
$4a_1=12 \Rightarrow a_1=3$.
Resposta: C) $3$.
Q7 — Razão da PA dos números $\equiv 2 \pmod{5}$ (UF-CE)
O conjunto dos naturais cuja divisão por $5$ deixa resto $2$ forma uma PA de razão igual a:
- $2$
- $3$
- $4$
- $5$
- $6$
Ver solução
Elementos: $5k+2 \Rightarrow 2,7,12,17,\ldots$
Razão $r=7-2=5$.
Resposta: D) $5$.
Q8 — Média dos 31 termos é 78: $a_{16}$ (Fatec-SP)
Se a média aritmética dos $31$ termos de uma PA é $78$, então o $16^\circ$ termo dessa progressão é:
- 54
- 66
- 78
- 82
- 96
Ver solução
Para $n$ ímpar, a média coincide com o termo central.
$a_{16}=\dfrac{S_{31}}{31}=78$.
Resposta: C) $78$.
Q9 — Até 1000: divisíveis por 2, 3, 4 e 5 (Unifesp-SP)
Entre os primeiros mil inteiros positivos, quantos são divisíveis por $2$, $3$, $4$ e $5$?
- 60
- 30
- 20
- 16
- 15
Ver solução
Múltiplos do $\operatorname{mmc}(2,3,4,5)=60$.
Quantidade: $\left\lfloor\dfrac{1000}{60}\right\rfloor=16$.
Resposta: D) $16$.
Q10 — (var.) Divisíveis por 2, 3, 4 e 5 (Unifesp-SP)
Entre os $1000$ primeiros inteiros positivos, conte os múltiplos comuns de $2$, $3$, $4$ e $5$.
- 60
- 30
- 20
- 16
- 15
Ver solução
Igual à Q9: $\operatorname{mmc}(2,3,4,5)=60$ ⇒ $\lfloor 1000/60\rfloor=16$.
Resposta: D) $16$.
Q11 — Menor $n$ para $S_n<0$ na PA $(36,29,22,\dots)$ (Mackenzie-SP)
O menor valor de $n$ tal que a soma dos $n$ primeiros termos da PA $(36,29,22,\ldots)$ seja negativa é:
- 12
- 9
- 11
- 8
- 10
Ver solução
$a_1=36$, $r=29-36=-7$.
$S_n=\dfrac{n}{2}\,[2\cdot36+(n-1)(-7)]=\dfrac{n}{2}(79-7n)$.
$S_n<0 \iff 79-7n<0 \iff n>\dfrac{79}{7}\approx 11{,}29$.
Menor inteiro: $\boxed{n=12}$.
Resposta: A) $12$.
