Logaritmo Natural (ln)

O logaritmo natural, também conhecido como logaritmo neperiano, é o logaritmo de base \(e\), onde \(e \approx 2,71828…\) é um número irracional famoso na matemática. Ele é indicado por \(\ln x\) e aparece frequentemente em problemas de crescimento contínuo, juros compostos e cálculo diferencial.

Definição formal

\( \ln x = \log_e x \quad\text{, com } x>0 \)

Isso significa que \(\ln x\) é o expoente ao qual a base \(e\) deve ser elevada para resultar em \(x\).
Por exemplo, \(\ln(e^4)=4\).

Propriedades do Logaritmo Natural

As propriedades do logaritmo natural são as mesmas dos logaritmos em qualquer base, mas com \(a=e\):

1) Logaritmo do produto: \(\ln(xy)=\ln x + \ln y\)

2) Logaritmo do quociente: \(\ln\!\left(\dfrac{x}{y}\right)=\ln x – \ln y\)

3) Logaritmo da potência: \(\ln(x^n)=n\ln x\)

4) Logaritmo da raiz: \(\ln(\sqrt[n]{x})=\dfrac{1}{n}\ln x\)

5) Valor especial: \(\ln 1=0 \quad\text{e}\quad \ln e=1\)

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Calcular \( \ln e^5 \)

Usando a definição: \[ \ln(e^5)=5 \] Porque \(e^5\) é exatamente a base elevada ao expoente 5. Resposta: 5.

Exemplo 2 — Resolver \( \ln x = 2 \)

Isso significa: \[ \log_e x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = e^2 \] Calculando: \[ x \approx 7,389 \] Resposta: \(x=e^2\).

Exemplo 3 — Expandir \( \ln(\sqrt{e^3}) \)

Primeiro, escrevemos a raiz como potência: \[ \sqrt{e^3}=e^{3/2} \] Aplicando a propriedade da potência: \[ \ln(e^{3/2})=\tfrac{3}{2}\ln e \] Como \(\ln e=1\): \[ \ln(\sqrt{e^3})=\tfrac{3}{2}=1,5 \]