Enunciado:
(UERJ) Considere as seguintes funções, relativas a uma ninhada de pássaros:
C = 5 + 10n
C = custo mensal, em reais, para a manutenção de n pássaros
V = -5n² + 100n – 320
V = valor mensal arrecadado, em reais, com a venda de n pássaros, para \( 4 \leq n \leq 16 \)
Sabe-se que o lucro mensal obtido é determinado pela diferença entre os valores de venda \( V \) e custo \( C \).
a) Determine os possíveis valores de \( n \) para que haja lucro nas vendas.
b) Calcule o valor de \( n \) que proporciona o maior lucro possível e o valor, em reais, desse lucro.
a) 🔍 Ver solução passo a passo
1) Calcular a função lucro:
$$ L(n) = [-5n^2 + 100n – 320] – [5 + 10n] $$ $$ L(n) = -5n^2 + 90n – 325 $$
2) Queremos que \( L(n) > 0 \):
$$ -5n^2 + 90n – 325 > 0 $$
Multiplicamos por -1 (inverte o sinal):
$$ 5n^2 – 90n + 325 < 0 $$
3) Resolver a equação associada:
$$ \Delta = (-90)^2 – 4 \cdot 5 \cdot 325 = 8100 – 6500 = 1600 $$
$$ n = \frac{90 \pm \sqrt{1600}}{2 \cdot 5} = \frac{90 \pm 40}{10} $$ $$ \Rightarrow n_1 = 5,\quad n_2 = 13 $$
4) Como a parábola é voltada para cima, \( L(n) > 0 \) entre as raízes:
$$ n \in (5,\ 13) $$
5) Restringindo ao intervalo \( [4, 16] \):
- Solução final: \( n \in \mathbb{R} \ | \ 5 < n < 13 \)
b) 🔍 Ver solução passo a passo
1) Função do lucro:
$$ L(n) = -5n^2 + 90n – 325 $$
2) Máximo ocorre no vértice:
$$ n_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-90}{2 \cdot (-5)} = 9 $$
3) Substituir na função lucro:
$$ L(9) = -5 \cdot 9^2 + 90 \cdot 9 – 325 = -405 + 810 – 325 = 80 $$
✅ Conclusão:
- n = 9 proporciona o maior lucro
- Lucro máximo: R$ 80,00
