Enunciado: O lucro mensal de uma empresa é dado por:
$$ L(x) = -x^2 + 30x – 5 $$
onde \( x \) é a quantidade mensal vendida.
a) Qual o lucro mensal máximo possível?
b) Entre quais valores deve variar \( x \) para que o lucro mensal seja, no mínimo, igual a R$ 195?
a) 🔍 Ver solução passo a passo
1) Identificar os coeficientes:
$$ a = -1,\quad b = 30,\quad c = -5 $$
2) O lucro máximo ocorre no vértice da parábola:
$$ x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-30}{2 \cdot (-1)} = 15 $$
3) Substituir na função para encontrar o lucro máximo:
$$ L(15) = -(15)^2 + 30 \cdot 15 – 5 = -225 + 450 – 5 = 220 $$
✅ Conclusão:
- Lucro máximo: R$ 220,00
- Ocorrendo em: \( x = 15 \) unidades vendidas
b) 🔍 Ver solução passo a passo
1) Queremos que \( L(x) \geq 195 \)
$$ -x^2 + 30x – 5 \geq 195 $$ $$ -x^2 + 30x – 200 \geq 0 $$
2) Resolver a equação associada:
$$ -x^2 + 30x – 200 = 0 \Rightarrow \Delta = 30^2 – 4 \cdot (-1) \cdot (-200) = 900 – 800 = 100 $$
$$ x = \frac{-30 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-30 \pm 10}{-2} \Rightarrow x = 10 \text{ ou } x = 20 $$
3) Estudo do sinal da parábola:
Como \( a = -1 \), a parábola é voltada para baixo.
- \( L(x) \geq 195 \) entre as raízes.
✅ Conclusão:
- Solução: \( x \in [10,\ 20] \)
