Matemática Banca IBFC: Aritmética e Problemas – Questão Comentada

Para resolver essa questão, precisamos encontrar a soma dos números naturais que, ao serem divididos por 7, deixam resto 3 e estão no intervalo 10 ≤ n ≤ 99.

Passo 1: Identificar os números no intervalo que deixam resto 3 ao serem divididos por 7

Se um número deixa resto 3 quando dividido por 7, ele pode ser escrito na forma:

n = 7k + 3

onde ( k ) é um número inteiro.

Queremos que 10 ≤ n ≤ 99. Substituindo n = 7k + 3:

10 ≤ 7k + 3 ≤ 99

Subtraindo 3 de cada termo:

7 ≤ 7k ≤ 96

Dividindo todos os termos por 7:

1 ≤ k ≤ 13

Portanto, k pode variar de 1 até 13.

Passo 2: Encontrar os valores de n para ( k = 1, 2, 3, … , 13 )

Para cada valor de k, calculamos n = 7k + 3:

• Se ( k = 1 ): ( n = 7 × 1 + 3 = 10 )
• Se ( k = 2 ): ( n = 7 × 2 + 3 = 17 )
• Se ( k = 3 ): ( n = 7 × 3 + 3 = 24 )
• …
• Se ( k = 13 ): ( n = 7 × 13 + 3 = 94 )

Assim, os números que satisfazem as condições são: ( 10, 17, 24, … , 94 ).

Passo 3: Calcular a soma desses valores

Observamos que essa é uma progressão aritmética (PA) com:

• Primeiro termo ( a₁ = 10 )
• Último termo ( a₁₃ = 94 )
• Razão ( r = 7 )

A soma dos termos de uma PA é dada por:

onde ( n ) é o número de termos.

Como temos 13 termos:

Resposta

A soma dos números naturais no intervalo que deixam resto 3 ao serem divididos por 7 é 676.

Alternativa correta: A) 676

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