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(IBFC – 2023 – Aritmética e Problemas) A soma dos números naturais que, divididos por 7, deixam resto 3, compreendidos no intervalo 10 ≤ n ≤ 99 é igual a:
A) 676
B) 824
C) 672
D) 580
E) 798
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Para resolver essa questão, precisamos encontrar a soma dos números naturais que, ao serem divididos por 7, deixam resto 3 e estão no intervalo 10 ≤ n ≤ 99.
Passo 1: Identificar os números no intervalo que deixam resto 3 ao serem divididos por 7
Se um número deixa resto 3 quando dividido por 7, ele pode ser escrito na forma:
n = 7k + 3
onde ( k ) é um número inteiro.
Queremos que 10 ≤ n ≤ 99. Substituindo n = 7k + 3:
10 ≤ 7k + 3 ≤ 99
Subtraindo 3 de cada termo:
7 ≤ 7k ≤ 96
Dividindo todos os termos por 7:
1 ≤ k ≤ 13
Portanto, k pode variar de 1 até 13.
Passo 2: Encontrar os valores de n para ( k = 1, 2, 3, … , 13 )
Para cada valor de k, calculamos n = 7k + 3:
- Se ( k = 1 ): ( n = 7 × 1 + 3 = 10 )
- Se ( k = 2 ): ( n = 7 × 2 + 3 = 17 )
- Se ( k = 3 ): ( n = 7 × 3 + 3 = 24 )
- …
- Se ( k = 13 ): ( n = 7 × 13 + 3 = 94 )
Assim, os números que satisfazem as condições são: ( 10, 17, 24, … , 94 ).
Passo 3: Calcular a soma desses valores
Observamos que essa é uma progressão aritmética (PA) com:
- Primeiro termo ( a1 = 10 )
- Último termo ( a13 = 94 )
- Razão ( r = 7 )
A soma dos termos de uma PA é dada por:
onde ( n ) é o número de termos.
Como temos 13 termos:
Resposta
A soma dos números naturais no intervalo que deixam resto 3 ao serem divididos por 7 é 676.
Alternativa correta: A) 676
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