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O técnico de um time de basquete pretende aumentar a estatura média de sua equipe de 1,93 m para, no mínimo, 1,99 m. Para tanto, dentre os 15 jogadores que fazem parte de sua equipe, irá substituir os quatro mais baixos, de estaturas: 1,78 m, 1,82 m, 1,84 m e 1,86 m. Para isso, o técnico já contratou um novo jogador de 2,02 m. Os outros três jogadores que ele ainda precisa contratar devem satisfazer à sua necessidade de aumentar a média das estaturas da equipe. Ele fixará a média das estaturas para os três jogadores que ainda precisa contratar dentro do critério inicialmente estabelecido.
Qual deverá ser a média mínima das estaturas, em metro, que ele deverá fixar para o grupo de três novos jogadores que ainda irá contratar?
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- 1,96
- 1,98
- 2,05
- 2,06
- 2,08
Mostrar / esconder solução passo a passo
1) Soma atual dos 15 jogadores
Média \(=1{,}93\Rightarrow\) soma \(=1{,}93\times15=28{,}95\ \text{m}\).
Média \(=1{,}93\Rightarrow\) soma \(=1{,}93\times15=28{,}95\ \text{m}\).
2) Soma dos 11 que permanecem
Retirando os quatro mais baixos: \(1{,}78+1{,}82+1{,}84+1{,}86=7{,}30\).
\(\Rightarrow S_{11}=28{,}95-7{,}30=21{,}65\ \text{m}\).
Retirando os quatro mais baixos: \(1{,}78+1{,}82+1{,}84+1{,}86=7{,}30\).
\(\Rightarrow S_{11}=28{,}95-7{,}30=21{,}65\ \text{m}\).
3) Meta para a nova equipe
Nova média mínima \(=1{,}99\Rightarrow\) soma mínima \(=1{,}99\times15=29{,}85\ \text{m}\).
A soma dos três novos ainda a contratar deve satisfazer \[ S_3 \ge 29{,}85 – S_{11} – 2{,}02 = 29{,}85 – 21{,}65 – 2{,}02 = 6{,}18\ \text{m}. \]
Nova média mínima \(=1{,}99\Rightarrow\) soma mínima \(=1{,}99\times15=29{,}85\ \text{m}\).
A soma dos três novos ainda a contratar deve satisfazer \[ S_3 \ge 29{,}85 – S_{11} – 2{,}02 = 29{,}85 – 21{,}65 – 2{,}02 = 6{,}18\ \text{m}. \]
4) Média mínima do trio
\(\displaystyle \bar h_{\min}=\frac{S_3}{3}\ge \frac{6{,}18}{3}= \boxed{2{,}06\ \text{m}}\).
Gabarito: letra D — 2,06 m.
\(\displaystyle \bar h_{\min}=\frac{S_3}{3}\ge \frac{6{,}18}{3}= \boxed{2{,}06\ \text{m}}\).
Gabarito: letra D — 2,06 m.
Veja também — questão anterior (ENEM 2020 Matemática)
Questão 36 — ruído acima de 55 dB
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