ITA 2020 — 2ª Fase — Questão 3 — Teoria dos Números
Dizemos que um número natural \(n\) é um cubo perfeito se existe um número natural \(a\) tal que
\(n=a^3\). Determine o subconjunto dos números primos que podem ser escritos como soma de dois cubos perfeitos.
👀 Solução passo a passo
Seja um primo \(p\) tal que
\[
p=a^3+b^3,\qquad a,b\in\mathbb{N}.
\]
Pela fatoração em soma de cubos,
\[
a^3+b^3=(a+b)\,(a^2-ab+b^2).
\]
Como \(p\) é primo e \(a,b\ge 1\Rightarrow a+b\ge 2\), para que \((a+b)(a^2-ab+b^2)=p\) só pode ocorrer
\[
\boxed{a^2-ab+b^2=1\quad\text{e}\quad a+b=p.}
\]
Vamos resolver \(a^2-ab+b^2=1\) em \(\mathbb{N}\). Multiplicando por \(4\),
\[
4a^2-4ab+4b^2=(2a-b)^2+3b^2=4.
\]
Como o lado esquerdo é soma de quadrados não negativos, tem-se \(3b^2\le 4\Rightarrow b\in\{0,1\}\).
Como \(b\ge 1\), segue \(b=1\). Substituindo,
\[
a^2-a+1=1\ \Rightarrow\ a(a-1)=0\ \Rightarrow\ a=1.
\]
Logo \(a=b=1\) e então \(a+b=2\). Portanto
\[
p=a+b=2.
\]
Concluímos que o único primo que pode ser escrito como a soma de dois cubos perfeitos é
\[
\boxed{\{2\}.}
\]
Resposta: o subconjunto pedido é \(\{2\}\).
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2020 — Questão 2 — 2ª Fase
