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ITA 2020 — 1ª Fase — Questão 45 — Somatório
A cada aniversário, o bolo tem uma quantidade de velas igual à idade. As velas são vendidas em pacotes com 12 unidades e todo ano é comprado apenas um novo pacote. As velas restantes são guardadas para os aniversários seguintes, desde o primeiro. Em que idade (em anos) acontecerá pela primeira vez de as velas serem insuficientes?
A) 12 B) 23 C) 24 D) 36 E) 38
👀 Solução passo a passo
Após \(x\) aniversários (do 1º ao \(x\)-ésimo), foram comprados \(x\) pacotes, isto é,
\[
\text{velas compradas}=12x.
\]
O número total de velas usadas nesse período é
\[
1+2+\cdots+x=\frac{x(x+1)}{2}.
\]
A primeira insuficiência ocorre quando, no próprio ano \(x\), as velas necessárias até ali excedem as compradas:
\[
\frac{x(x+1)}{2}>12x
\ \Longleftrightarrow\
\frac{x+1}{2}>12
\ \Longleftrightarrow\
x+1>24
\ \Longleftrightarrow\
x>23.
\]
Portanto, o menor \(x\) inteiro que satisfaz é \(x=24\).
Resposta: C) 24 anos.
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2020 — Questão 44 — 1ª Fase
