ITA 2020 — 1ª Fase — Questão 49 — Teoria dos Números
A expansão decimal do número \(100!\) possui muitos algarismos iguais a zero.
Contando da direita para a esquerda, a partir do dígito das unidades, o número de zeros
consecutivos que \(100!\) possui antes de um dígito não nulo aparecer é igual a:
A) \(20\)
B) \(21\)
C) \(22\)
D) \(23\)
E) \(24\)
👀 Solução passo a passo
Zeros no final vêm de fatores \(10=2\cdot5\). Em \(100!\) há muito mais fatores \(2\) do que \(5\),
logo a quantidade de zeros é \(v_5(100!)\) (o expoente de \(5\) na fatoração de \(100!\)).
Pela fórmula de Legendre: \[ v_5(100!)=\left\lfloor \frac{100}{5}\right\rfloor+ \left\lfloor \frac{100}{25}\right\rfloor+ \left\lfloor \frac{100}{125}\right\rfloor =20+4+0=24. \] Portanto, \(100!\) termina com \(24\) zeros.
Pela fórmula de Legendre: \[ v_5(100!)=\left\lfloor \frac{100}{5}\right\rfloor+ \left\lfloor \frac{100}{25}\right\rfloor+ \left\lfloor \frac{100}{125}\right\rfloor =20+4+0=24. \] Portanto, \(100!\) termina com \(24\) zeros.
Resposta: E) \(24\).
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2020 — 1ª Fase — Questão 48
